Prawdziwe jest następujące twierdzenie o wielościanach (zwykłych, wypukłych):
Jeśli oznacza liczbę ścian,
liczbę wierzchołków, a
liczbę krawędzi, to zachodzi
.
Tożsamość tą nazywamy wzorem Eulera dla wielościanów.
Dowód wymaga odrobinę gimnaztyki umysłu - wyobraźmy sobie wielościan, którego jedną ze ścian odrzucamy, by następnie rozciągnąć go i rozłożyć na płaszczyźnie. Teraz traktować go możemy jako grupę wielokątów o wspólnych bokach.
Skorzystamy z indukcji.
Jeśli taki wielokąt ograniczymy do jednej ściany, będziemy mieć , zaś
, możemy więc zapisać
.
Dołączenie kolejnej ściany zwiększy liczbę ścian o , a liczbę wierzchołków o jeden mniej niż liczbę krawędzi, zatem obie strony równości wzrosną o tyle samo. Kontynuując to rozumowanie dochodzimy do wniosku, że równość będzie zawsze prawdziwa.
Na koniec dołączmy odrzuconą początkowo ścianą, tworząc znów wielościan - jej dołączenie spowoduje domknięcie wielokąta, a wzór będzie miał postać , co było do udowodnienia.