Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Twierdzenie Eulera o wielościanach

Prawdziwe jest następujące twierdzenie o wielościanach (zwykłych, wypukłych):

Jeśli S oznacza liczbę ścian, W liczbę wierzchołków, a K liczbę krawędzi, to zachodzi W + S = K +2.

Tożsamość tą nazywamy wzorem Eulera dla wielościanów.

 

Dowód wymaga odrobinę gimnaztyki umysłu - wyobraźmy sobie wielościan, którego jedną ze ścian odrzucamy, by następnie rozciągnąć go i rozłożyć na płaszczyźnie. Teraz traktować go możemy jako grupę wielokątów o wspólnych bokach.

Skorzystamy z indukcji. 

Jeśli taki wielokąt ograniczymy do jednej ściany, będziemy mieć S=1, zaś W = K, możemy więc zapisać W + S = K+1.

Dołączenie kolejnej ściany zwiększy liczbę ścian o 1, a liczbę wierzchołków o jeden mniej niż liczbę krawędzi, zatem obie strony równości wzrosną o tyle samo. Kontynuując to rozumowanie dochodzimy do wniosku, że równość będzie zawsze prawdziwa.

Na koniec dołączmy odrzuconą początkowo ścianą, tworząc znów wielościan - jej dołączenie spowoduje domknięcie wielokąta, a wzór będzie miał postać W + S = K +2, co było do udowodnienia.

Zobacz również

  • Bryły podobne

    Dwie bryły są podobne jeśli odległości między punktami jednej są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej.

    Więcej
  • Bryły wpisane w kulę

    Niektóre bryły można wpisać w kulę, co pozwala na formułowanie pewnych tożsamości lub twierdzeń.

    Więcej
  • Bryły opisane na kuli

    Niektóre bryły mogą być opisane na kuli, co pociąga za sobą pewne interesujące właściwości.

    Więcej
  • Kąt dwuścienny

    Kątem dwuściennym nazywamy - jak wskazuje sama nazwa - kąt między dwoma (sąsiadującymi ze sobą) ścianami...

    Więcej
  • Przekroje

    Przekrojem poprzecznym lub po prostu przekrojem nazywamy figurę dwuwymiarową powstałą poprzez przecięcie bryły płaszczyzną...

    Więcej

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
Synod w Jamni zaczyna być podważany jako niezaistniały.
Marcin • 2020-08-01 22:23:11
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28