Twierdzenie Eulera o wielościanach

Prawdziwe jest następujące twierdzenie o wielościanach (zwykłych, wypukłych):

Jeśli S oznacza liczbę ścian, W liczbę wierzchołków, a K liczbę krawędzi, to zachodzi W + S = K +2.

Tożsamość tą nazywamy wzorem Eulera dla wielościanów.

 

Dowód wymaga odrobinę gimnaztyki umysłu - wyobraźmy sobie wielościan, którego jedną ze ścian odrzucamy, by następnie rozciągnąć go i rozłożyć na płaszczyźnie. Teraz traktować go możemy jako grupę wielokątów o wspólnych bokach.

Skorzystamy z indukcji. 

Jeśli taki wielokąt ograniczymy do jednej ściany, będziemy mieć S=1, zaś W = K, możemy więc zapisać W + S = K+1.

Dołączenie kolejnej ściany zwiększy liczbę ścian o 1, a liczbę wierzchołków o jeden mniej niż liczbę krawędzi, zatem obie strony równości wzrosną o tyle samo. Kontynuując to rozumowanie dochodzimy do wniosku, że równość będzie zawsze prawdziwa.

Na koniec dołączmy odrzuconą początkowo ścianą, tworząc znów wielościan - jej dołączenie spowoduje domknięcie wielokąta, a wzór będzie miał postać W + S = K +2, co było do udowodnienia.

Polecamy również:

  • Bryły podobne

    Dwie bryły są podobne jeśli odległości między punktami jednej są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej. Więcej »

  • Bryły wpisane w kulę

    Niektóre bryły można wpisać w kulę, co pozwala na formułowanie pewnych tożsamości lub twierdzeń. Więcej »

  • Bryły opisane na kuli

    Niektóre bryły mogą być opisane na kuli, co pociąga za sobą pewne interesujące właściwości. Więcej »

  • Kąt dwuścienny

    Kątem dwuściennym nazywamy - jak wskazuje sama nazwa - kąt między dwoma (sąsiadującymi ze sobą) ścianami... Więcej »

  • Przekroje

    Przekrojem poprzecznym lub po prostu przekrojem nazywamy figurę dwuwymiarową powstałą poprzez przecięcie bryły płaszczyzną... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 4 =
Ostatnio komentowane
Przydały mi się te choroby
• 2022-10-02 10:10:41
Yyy
• 2022-10-01 13:23:41
Super przydało mi się to do zadania z Religii
• 2022-09-29 12:48:27
Dziękuję, pomogło mi w nauce :)
• 2022-09-29 12:05:27
Bardzo pomocny
• 2022-09-29 09:23:04