Prawdziwe jest następujące twierdzenie o wielościanach (zwykłych, wypukłych):
Jeśli \(S\) oznacza liczbę ścian, \(W\) liczbę wierzchołków, a \(K\) liczbę krawędzi, to zachodzi \(W + S = K +2\).
Tożsamość tą nazywamy wzorem Eulera dla wielościanów.
Dowód wymaga odrobinę gimnaztyki umysłu - wyobraźmy sobie wielościan, którego jedną ze ścian odrzucamy, by następnie rozciągnąć go i rozłożyć na płaszczyźnie. Teraz traktować go możemy jako grupę wielokątów o wspólnych bokach.
Skorzystamy z indukcji.
Jeśli taki wielokąt ograniczymy do jednej ściany, będziemy mieć \(S=1\), zaś \(W = K\), możemy więc zapisać \(W + S = K+1\).
Dołączenie kolejnej ściany zwiększy liczbę ścian o \(1\), a liczbę wierzchołków o jeden mniej niż liczbę krawędzi, zatem obie strony równości wzrosną o tyle samo. Kontynuując to rozumowanie dochodzimy do wniosku, że równość będzie zawsze prawdziwa.
Na koniec dołączmy odrzuconą początkowo ścianą, tworząc znów wielościan - jej dołączenie spowoduje domknięcie wielokąta, a wzór będzie miał postać \(W + S = K +2\), co było do udowodnienia.