Przekroje

Przekrojem poprzecznym lub po prostu przekrojem nazywamy figurę dwuwymiarową powstałą poprzez przecięcie bryły płaszczyzną.

Przyjrzyjmy się przykładom przekrojów.

Przekrój prostopadłościanu

Niech dany będzie prostopadłościan.

Przekrojem przechodzącym przez przekątne jego podstaw będzie prostokąt.

Przekrój prostopadłościanu

Pole tego prostokąta można policzyć w następujący sposób:

Jeśli podstawa prostopadłościanu miała boki dłogości a i b to z twierdzenia Pitagorasa przekątna podstawy mieć będzie długość  \sqrt{a^2+b^2} . Jeśli ponadto wysokość prostopadłościanu oznaczymy jako H, wówczas omawiany przekrój mieć będzie pole H \sqrt{a^2+b^2} .

Przekrój kwadratu

W sześcianie przekrojem przechodzącym przez przekątną podstawy oraz wierzchołek drugiej podstawy będzie trójkąt.

Przekrój kwadratu

Trójkąt ten jest trójkątem równobocznym (każdy z jego boków jest jednocześnie przekątną ściany sześcianu). Pole tego trójkąta możemy wyrazić wzorem. Zwróćmy uwagę, że jeśli bok sześcianu oznaczymy jako a to bok trójkąta mieć będzie długość a \sqrt{2} . Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego otrzymamy więc P _{ \Delta } =  \frac{(a \sqrt{2}) ^{2}  \sqrt{3} }{4} =
\frac{2a^{2}  \sqrt{3} }{4} =
\frac{a^{2}  \sqrt{3} }{2} .

Przekrój graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekrój przechodzący przez wierzchołek jednej z podstawy i bok drugiej z podstaw wyglądać będzie następująco:

Przekrój graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

Jest to trójkąt równoramienny - do znalezienia jego pola potrzebna nam jest jego wysokość, którą można policzyć korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa. Najpierw do wyznaczenia długości ramienia trójkąta - otrzymując  \sqrt{a^2+H^2} , gdzie a i H to odpowiednio krawędź podstawy oraz wysokość graniastosłupa. Następnie do wyznaczenia samej wysokości trójkąta - otrzymując h= \sqrt{a^2+H^2- (\frac{a}{2} )^2} =\sqrt{ \frac{3}{4} a^2+H^2} , skąd otrzymujemy pole przekroju P_ \Delta = \frac{1}{2} ah= \frac{1}{2} a\sqrt{ \frac{3}{4} a^2+H^2} .

Przekrój czworościanu

Przekrojem przechodzącym przez wysokość czworościanu będzie trójkąt.

Przekrój czworościanu

Jeśli krawędź czworościanu oznaczymy jako a boki tego trójkąta będą miały długości a,  \frac{a \sqrt{3} }{2} i  \frac{a \sqrt{3} }{2} (jeden bok pokrywa się z krawędzią czworościanu, dwa pozostałe z wysokościami ścian będących trójkątami równobocznymi).

Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Przekrój przechodzący przez wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równoramiennym.

 Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Jeśli krawędź podstawy oznaczymy jako a oraz wysokość jako H to boki tego trójkąta mieć będą długości a \sqrt{2} ,  \sqrt{ \frac{1}{4}a^2+H^2 } ,  \sqrt{ \frac{1}{4}a^2+H^2 } (jeden jest przekątną kwadratu o boku a, dwa pozostałe wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o przyprostokątnych H i  \frac{1}{2} a).

Przekrój przechodzący przez krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i środki dwóch jego krawędzi bocznych będzie trapezem.

Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Przekrój walca

Przekrój walca jest prostokątem.

Przekrój walca

Jeśli wysokość walca to H a promień jego podstawy to r, polem przekroju będzie oczywiście 2Hr.

Przekrój stożka

Przekrojem stożka będzie trójkąt równoramienny.

Przekrój stożka

Podstawa tego trójkąta będzie równa średnicy podstawy stożka natomiast jego ramiona będą równo tworzącym stożka. Jeśli oznaczymy promień podstawy jako r a wysokość jako H to pole przekroju możemy wyrazić jako Hr.

Przekrój kuli

Wszystkie przekroje kuli będą kołami.

Przekrój kuli

Ponadto jeśli przekrój przechodzi przez środek kuli koło powstałe w ten sposób nazywamy kołem wielkim kuli, a jego pole to  \pi R^2, gdzie R - promień kuli.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
xd
• 2024-04-16 17:58:56
@Mariola - dziękujemy za zwrócenie uwagi, wpis został poprawiony. Pozdrawiamy :)
• 2024-04-16 07:36:55
Co za wstyd pomyśleć, że ja nie istnieje.
• 2024-04-12 15:30:23
supier
• 2024-04-11 18:27:13
bardzo pomocne
• 2024-04-09 17:22:24