Porównywanie-która z liczb jest większa?

Zauważmy, że wszystkie te liczby są zapisane w postaci potęg. A zatem, żeby porównać je parami ze sobą musimy przedstawić je za pomocą potęgi o tym samym wykładniku lub o tej samej podstawie.

a) 3⁵ i 9²

    Widzimy, że liczbę po prawej możemy przedstawić za pomocą 3:

    9² = (3²)² = 3⁴

    Dostaliśmy potęgi o tej samej podstawie, stąd:

    3⁵ > 3⁴ , czyli 3⁵ > 9²

 

b) 25⁴ i 125²

   Tutaj obydwie liczby musimy przekształcić, zobaczmy, że są one wielokrotnościami liczby 5:

   25⁴ = (5²)⁴ = 5⁸ 

   125² = (5³)² = 5⁶

   Otrzymaliśmy potęgi o tej samej podstawie, a zatem:

   5⁸ > 5⁶ , czyli 25⁴ > 125²

 

c) 16⁵ i 32² 

    Powyższe liczby możemy przedstawić, jako potęgi o takim samym wykładniku:

    16⁵ = (4²)⁵ = 4¹⁰ 

    32² = (2⁵)² = 2¹⁰ 

    Stąd:

   4¹⁰ > 2¹⁰, czyli 16⁵ > 32²

   UWAGA! Ten przykład moglibyśmy rozwiązać podobnie jak poprzednie, zamieniając obie liczby na potęgi o podstawie 2.

d) 5⁴ i 64²  

    Podane liczby, tak jak w poprzednim podpunkcie, możemy przedstawić jako potęgi o tym samym wykładniku:

    64² = (8²)² = 8⁴ 

    Otrzymujemy:

    5⁴ < 8⁴, a stąd 5⁴ < 64² 

 

e) (-1/2)⁴ i (1/8)³ 

    W tym przypadku także zamienimy obie liczby na potęgi o tej samej podstawie:

    (1/8)³ = (1/2³)³ = (1/2)⁹ 

     Zauważmy dodatkowo, że:

     (-1/2)⁴ = (1/2)⁴  ponieważ potęga liczby ujemnej jest liczbą parzystą.

     Dostajemy:

     (1/2)⁴ > (1/2)⁹  bo porównując potęgi ułamków, większa jest ta, która ma mniejszą liczbę w wykładniku.

     Stąd:

     (-1/2)⁴ > (1/8)³