Długość odcinka o końcach w punktach \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\) jest równa \(|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \).
Wynik ten jest wnioskiem z twierdzenie Pitagorasa.
Niech dane będą dwa punkty \(A\) i \(B\) o współrzędnych \(A(x_A,y_A)\) oraz \(B(x_B,y_B)\). Zdefiniujmy punkt \(C\) jako \((x_B,y_A)\).
Otrzymamy w ten sposób trójkąt prostokątny, możemy zatem zapisać (przyjmując odpowiednie oznaczenia)
\(a^2 + b^2 = c^2\), co po przekształceniu ma postać \(c = \sqrt{a^2 + b^2} \).
Zauważmy następnie, że
\(b = x_B - x_A\) oraz \(a = y_B - y_A\),
stąd zaś natychmiast wynika, że
\(c = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \), co też było do pokazania.
Przykład:
Policzyć długość odcinka o końcach w punktach \((-2,3)\) i \((1,-1)\).
Jeśli oznaczymy te punkty jako \(A\) i \(B\) to długość odcinka \(AB\) będzie równa\(|AB| = \sqrt{(1+2)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} =5\).
Zadanie:
Jaka jest długość odcinka o końcach w punktach \((5,5)\) i \((1,-3)\)?
Odpowiedzi:
Długość tego odcinka wynosi \(4 \sqrt{5} \).