Zasada zachowania energii w ruchu obrotowym

Zasada zachowania energii głosi, że w układach izolowanych, tzn. takich, na które nie działają żadne siły zewnętrzne, całkowita energia układu pozostaje stała. Może zmieniać się jedynie forma energii tj. energia potencjalna może zamieniać się w energię kinetyczną i odwrotnie, ale suma tych dwóch rodzajów energii jest stała.

W przypadku bryły sztywnej zmagazynowana energia potencjalna (E_p) może zamienić się na energię kinetyczną ruchu postępowego (E_{k post}) i/lub energię kinetyczną ruchu obrotowego (E_{k Obr}). Żeby to lepiej zrozumieć przeanalizujmy poniższy przykład.

Zasada zachowania energii dla ruchu obrotowego bryły sztywnej – przykład.

Jednorodny walec stacza się z równi pochyłej o wysokości h = 3m. Znajdź prędkość liniową walca u podnóża równi.

Gdy walec znajduje się na szczycie równi posiada tylko energię potencjalną, która jest równa:

$E _{p}=mgh$

U podnóża równi posiada on 2 rodzaje energii kinetycznej ruchu postępowego i obrotowego:

$E _{k post} = \frac{mv ^{2} }{2}$   ,   $E _{k obr}= \frac{I \omega ^{2} }{2}$

Zasada zachowania energii w tym przypadku wygląda więc następująco:

 

$mgh= \frac{mv ^{2} }{2}+ \frac{I \omega ^{2} }{2}$

Ponieważ moment bezwładności walca to  $I= \frac{1}{2} mR ^{2}$   i związek pomiędzy prędkością kątową a liniowa jest następujący $\omega = \frac{v}{R}$, więc:

 

$mgh= \frac{mv ^{2} }{2}+ \frac{ \frac{1}{2} mR ^{2} \frac{v ^{2} }{R ^{2} } }{2}$

$gh= \frac{v ^{2} }{2} + \frac{v ^{2} }{4}$

Po prostych przekształceniach otrzymamy:

 

$v= \sqrt{ \frac{4}{3}gh }=2 \sqrt{ \frac{gh}{3} }=2 \sqrt{ \frac{10 \frac{m}{s ^{2} } \cdot 3m }{3} } \approx 6,32 \frac{m}{s}$

Zwróćmy uwagę, że końcowa prędkość walca nie zależy od jego promienia i masy.