Energia potencjalna grawitacji dla pola jednorodnego

Energia potencjalna to energia jaką posiada układ ciał powiązanych wzajemnym oddziaływaniem. Jeżeli tym oddziaływaniem jest oddziaływanie grawitacyjne to mówimy o energii potencjalnej ciężkości (grawitacji).Wartość energii potencjalnej jest funkcją jedynie współrzędnych przestrzennych ciał (a nie np. ich prędkości).
W polu grawitacyjnym jednorodnym przyspieszenie grawitacyjne jest stałe, więc wzór na zmianę energii potencjalnej ciężkości jest następujący:

ΔE_p = mgh

gdzie: m – masa ciała, g – przyspieszenie grawitacyjne, h – wysokość na jakiej znajduje się ciało.


Aby jednoznacznie określić wartość energii potencjalnej należy najpierw umówić się, że wartość energii dla dowolnie wybranego rozmieszczenia ciał przyjmuje dowolnie wybraną wartość np. 0, a następnie obliczyć zmianę tej wartości przy  przejściu po dowolnie wybranym torze do innego rozmieszczenia ciał. Na przykład można przyjąć, że dla jabłka leżącego na ziemi wysokość jest równa zero, stąd w tej sytuacji energia potencjalna układu jabłko-ziemia jest równa zero. Gdy jabłko znajdzie się na pewnej wysokość h to jego energia potencjalna zmieni się o ΔE_p = mgh.

Rys. Monika Pilch

Praca (W) jaką należy wykonać aby przenieść jabłko z punktu 0 na wysokość h jest równa:

W = F • h

W przypadku przenoszenia jabłka ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością), wartość siły z jaką należy działać na jabłko jest równa jego ciężarowi, więc:

F = m • g

Stąd praca jest równa:

W = mgh

Z ostatniego równania wynika, że praca wykonywana przy przenoszeniu ciała z jednego położenia do innego w polu grawitacyjnym jest równa zmianie energii potencjalnej:

W = ΔE_p

Jednostką energii potencjalnej podobnie jak i energii kinetycznej jest dżul.

Energia potencjalna grawitacji dla pola jednorodnego - przykład.

Dwa jabłka znajdują się na wysokości 3m oraz 3 jabłka znajdują się na wysokości 2m. Wszystkie jabłka mają tą samą masę równą 0,25kg. Jak zmieni się energia potencjalna jeżeli wszystkie jabłka spadną na ziemię? Jaką pracę należałoby wykonać aby jabłka z powrotem znalazły się na tej samej wysokości?

Dane:                                                    Szukane:
N₁ = 2                                        ΔE_p = ?
h₁ = 3m                                       W = ?
N₂ = 3
h₂ = 2m
m = 0,25kg
g = 10m/s²

Rozwiązanie:
Jeżeli przyjmiemy, że poziom ziemi to wysokość równa zero metrów to końcowa energia układu (E_pk) będzie równa 0. Energia początkowa natomiast będzie równa:

E_p0 = N₁mgh₁ +  N₂mgh₂ = 2•0,25kg•10m/s²•3m + 3•0,25kg•10m/s²•2m = 30J

Zmiana energii wynosi więc:

ΔE_p =E_pk – E_p0 = 0J -30J = -30J

Znak minus oznacza, że energia potencjalna jabłek zmalała.
Ponieważ praca jest równa zmianie energii, stąd jej wartość wynosi również -30J.