Zasada zachowania momentu pędu bryły sztywnej jest odpowiednikiem zasady zachowania pędu dla ruchu postępowego punktu materialnego.
Zasada ta głosi, że w przypadku gdy wypadkowy moment sił działających z zewnątrz na układ jest równy zero (\( \vec{M} =0\)), to moment pędu tego układu nie może ulec zmianie (ΔL = 0) – moment pędu jest zachowany, czyli:
L0 = Lk
gdzie: L0, Lk to odpowiednio początkowy i końcowy moment pędu układu.
Ponieważ moment pędu jest równy L = I•ω, to zasadę zachowania momentu pędu można zapisać następująco:
\(I _{0} \omega _{0}=I _{k} \omega _{k} \)
gdzie: I0 i Ik – momenty bezwładności ciała w stanie początkowym i końcowym, ω0 i ωk – prędkości kątowe w stanach początkowym i końcowym.
Jeżeli w wyniku działania sił wewnętrznych zmieni się moment bezwładności ciała (I), musi to spowodować zmianę jego prędkości kątowej.
Przykładem zasady zachowania momentu pędu może być łyżwiarz wykonujący piruet. W momencie gdy łyżwiarz trzyma ręce daleko od tułowia jego prędkość kątowa jest stosunkowo mała, bo jego moment bezwładność jest wówczas dość duży. Natomiast gdy łyżwiarz przyciąga ręce blisko tułowia jego prędkość kątowa znacznie wzrasta, gdyż maleje wówczas moment bezwładności jego ciała.
Zasada zachowania momentu pędu – przykład.
Jak zmieniłaby się prędkość kątowa Ziemi, gdyby jej promień zmalał dwukrotnie? Załóż, że Ziemia jest jednorodną bryłą sztywną o kształcie kuli.
Dane: Szukane:
R0 = 2Rk \( \frac{ \omega _{k} }{ \omega _{0} } = ? \)
Rozwiązanie:
Z zasady zachowania pędu wynika, że:
\(I _{0} \omega _{0}=I _{k} \omega _{k} \) , stąd:
\( \frac{ \omega _{k} }{ \omega _{0} } = \frac{I _{0} }{I _{k} } \)
Moment bezwładności kuli to \(I= \frac{2}{5} mR ^{2} \) , więc:
\( \frac{ \omega _{k} }{ \omega _{0} } = \frac{ \frac{2}{5}mR _{0} ^{2} }{\frac{2}{5}mR _{k} ^{2}} =( \frac{R _{0} }{R _{k} }) ^{2} =( \frac{2R _{k} }{R _{k} }) ^{2}=4 \)
Prędkość kątowa naszej planety wzrosłaby w tym przypadku czterokrotnie.