Równania opisujące ruch harmoniczny dotyczą przede wszystkim wychylenia ciała (x), jego prędkości (v) oraz przyspieszenia (a). Jeżeli w chwili początkowej ciało przechodzi przez położenie równowagi (x = 0), to odpowiednie wzory mają postać:
\(x=Asin( \omega t)\)
\(v=A \omega cos( \omega t)\)
\(a=-A \omega ^{2} sin( \omega t)\)
gdzie: A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa, t – czas, ωt – faza drgań.
Wszystkie trzy zależności zostały przedstawione na poniższym wykresie:
Z wykresu wynika, że okres zmian wszystkich przedstawionych wielkości jest taki sam.
Gdy ciało wykonujące ruch harmoniczny przechodzi przez położenie równowagi (x = 0), to jego prędkość osiąga wartość maksymalną (v = Aω). Natomiast gdy wychylenie jest maksymalne (x = A), to prędkość ciała jest równa zero. Dzieje się tak dlatego, że funkcje sinus i cosinus są przesunięte względem siebie o π/2 radianów (90°). W momencie maksymalnego wychylenia zmienia się zwrot wektora prędkości na przeciwny.
Przyspieszenie ciała jest zawsze skierowane przeciwnie do wychylenia i osiąga maksymalne wartości, gdy wychylenie jest równe amplitudzie drgań.
Ruch harmoniczny – równania – przykład.
Ciało wykonuje drgania harmoniczne opisane równaniem x = 2sin(4t). Zapisz równania na prędkość i przyspieszenie ciała zakładając, że wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach układu SI.
Rozwiązanie:
Z przedstawionego równania wynika, że
A = 2m oraz ω = 4s-1 , więc prędkość i przyspieszenie ciała muszą być równe:
\(v=A \omega cos( \omega t)=2 \cdot 4cos(4t)=8cos(4t)\)
\(a=-A \omega ^{2} sin( \omega t)=-2 \cdot 4 ^{2} sin(4t)=-3sim(4t)\)