1. Strona główna
    2. /
  2. Fizyka
    3. /
  3. Energia w ruchu harmonicznym – przemiany

Energia w ruchu harmonicznym – przemiany

Energia całkowita (Ec)  ciała wykonującego drgania harmoniczne jest sumą jego energii potencjalnej (Ep) i kinetycznej (Ek).

Ec = Ep + Ek

Energia potencjalna związana jest z działaniem siły, będącej liniową funkcją wychylenia i jest równa:

E _{p} = \frac{kx ^{2} }{2}

gdzie: k – współczynnik sprężystości, x – wychylenie.

Energia kinetyczna natomiast związana jest z prędkością ciała i jest równa:

E _{k}= \frac{mv ^{2} }{2}

gdzie: m – masa, v – prędkość.

Wychylenie i prędkość w ruchu harmonicznym są odpowiednio równe:

x=Asin( \omega t)

v=A \omega cos( \omega t)

gdzie: A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa, ωt – faza drgań.

Zatem wzory na energie potencjalną i kinetyczną można zapisać następująco:

E _{p}= \frac{kA ^{2}sin ^{2}( \omega t) }{2}

E _{k}= \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2} ( \omega t) }{2}

Ponieważ  m \omega ^{2} =k, to E _{k} = \frac{kA ^{2}cos ^{2}( \omega t) }{2} .

Całkowita energia w ruchu harmonicznym jest więc równa:

E _{c} = \frac{kA ^{2}sin ^{2}( \omega t) }{2} + \frac{kA ^{2}cos ^{2}( \omega t) }{2} = \frac{kA ^{2} }{2} (sin ^{2}( \omega t) +cos ^{2}( \omega t)= \frac{kA ^{2} }{2}

sin ^{2} ( \omega t)+cos ^{2} ( \omega t)=1 - jednostka trygonometryczna.

Na rysunku przedstawiono zależności energii potencjalnej, kinetycznej i całkowitej od czasu.

Widać, że energia całkowita ma stałą wartość równą maksymalnej wartości energii potencjalnej i kinetycznej. Oznacza to, że w ruchu drgającym w sposób ciągły zachodzą przemiany energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie tak, że suma tych dwóch rodzajów energii jest zawsze stała, więc nie zależy od czasu.

Przemiany energii w ruchu harmonicznym - przykład.

Równanie x = 4sin( \pi •t) przedstawia zależność wychylenia ciała o masie m = 1kg , wykonującego drgania harmoniczne. Znajdź wartości energii potencjalnej, kinetycznej i całkowitej po czasie t = T/12. Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach układu SI.

Rozwiązanie:
Z przedstawionego równania można odczytać, że:
A = 4m
ω  =  \pi 1/s

Ponieważ k=m \omega ^{2} , to energia całkowita jest równa:

E _{c} = \frac{m \omega ^{2}A ^{2} }{2} = \frac{1kg \cdot \pi ^{2} \frac{1}{s ^{2} } \cdot (4m) ^{2} }{2}

E _{c} =8 \pi ^{2} J

Energię kinetyczną można zapisać następująco:

E _{k}= \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2} ( \omega t) }{2}

Ponieważ t = T/12 oraz T= \frac{2 \pi }{ \omega } , to:

E _{k} = \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2}( \omega \frac{2 \pi }{12 \omega } ) }{2} = \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2}( \frac{ \pi }{6} ) }{2}

E _{k} = \frac{1kg(4m) ^{2} \cdot \pi ^{2} \frac{1}{s ^{2} } \cdot \frac{3}{4} }{2} =6 \pi ^{2} J

Energią potencjalną można wyznaczyć jako różnicę energii całkowitej i kinetycznej, więc:

E _{p} =E _{c} -E _{k} =8 \pi ^{2} J-6 \pi ^{2} J=2 \pi ^{2} J

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 5 =
Ostatnio komentowane
Rozbicie dzielnicowe w Polsce (1138-1320)
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33