Energia całkowita (Ec) ciała wykonującego drgania harmoniczne jest sumą jego energii potencjalnej (Ep) i kinetycznej (Ek).
Ec = Ep + Ek
Energia potencjalna związana jest z działaniem siły, będącej liniową funkcją wychylenia i jest równa:
\(E _{p} = \frac{kx ^{2} }{2} \)
gdzie: k – współczynnik sprężystości, x – wychylenie.
Energia kinetyczna natomiast związana jest z prędkością ciała i jest równa:
\(E _{k}= \frac{mv ^{2} }{2} \)
gdzie: m – masa, v – prędkość.
Wychylenie i prędkość w ruchu harmonicznym są odpowiednio równe:
\(x=Asin( \omega t)\)
\(v=A \omega cos( \omega t)\)
gdzie: A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa, ωt – faza drgań.
Zatem wzory na energie potencjalną i kinetyczną można zapisać następująco:
\(E _{p}= \frac{kA ^{2}sin ^{2}( \omega t) }{2} \)
\(E _{k}= \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2} ( \omega t) }{2} \)
Ponieważ \(m \omega ^{2} =k\), to \(E _{k} = \frac{kA ^{2}cos ^{2}( \omega t) }{2} \) .
Całkowita energia w ruchu harmonicznym jest więc równa:
\(E _{c} = \frac{kA ^{2}sin ^{2}( \omega t) }{2} + \frac{kA ^{2}cos ^{2}( \omega t) }{2} = \frac{kA ^{2} }{2} (sin ^{2}( \omega t) +cos ^{2}( \omega t)= \frac{kA ^{2} }{2} \)
\(sin ^{2} ( \omega t)+cos ^{2} ( \omega t)=1 \) - jednostka trygonometryczna.
Na rysunku przedstawiono zależności energii potencjalnej, kinetycznej i całkowitej od czasu.
Widać, że energia całkowita ma stałą wartość równą maksymalnej wartości energii potencjalnej i kinetycznej. Oznacza to, że w ruchu drgającym w sposób ciągły zachodzą przemiany energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie tak, że suma tych dwóch rodzajów energii jest zawsze stała, więc nie zależy od czasu.
Przemiany energii w ruchu harmonicznym - przykład.
Równanie x = 4sin(\( \pi \)•t) przedstawia zależność wychylenia ciała o masie m = 1kg , wykonującego drgania harmoniczne. Znajdź wartości energii potencjalnej, kinetycznej i całkowitej po czasie t = T/12. Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach układu SI.
Rozwiązanie:
Z przedstawionego równania można odczytać, że:
A = 4m
ω = \( \pi \) 1/s
Ponieważ \(k=m \omega ^{2} \) , to energia całkowita jest równa:
\(E _{c} = \frac{m \omega ^{2}A ^{2} }{2} = \frac{1kg \cdot \pi ^{2} \frac{1}{s ^{2} } \cdot (4m) ^{2} }{2} \)
\(E _{c} =8 \pi ^{2} J\)
Energię kinetyczną można zapisać następująco:
\(E _{k}= \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2} ( \omega t) }{2} \)
Ponieważ t = T/12 oraz \(T= \frac{2 \pi }{ \omega } \) , to:
\(E _{k} = \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2}( \omega \frac{2 \pi }{12 \omega } ) }{2} = \frac{mA ^{2} \omega ^{2}cos ^{2}( \frac{ \pi }{6} ) }{2} \)
\(E _{k} = \frac{1kg(4m) ^{2} \cdot \pi ^{2} \frac{1}{s ^{2} } \cdot \frac{3}{4} }{2} =6 \pi ^{2} J\)
Energią potencjalną można wyznaczyć jako różnicę energii całkowitej i kinetycznej, więc:
\(E _{p} =E _{c} -E _{k} =8 \pi ^{2} J-6 \pi ^{2} J=2 \pi ^{2} J\)