Okres drgań, częstotliwość drgań i częstość kołowa drgań

Okres drgań (T) jest to czas trwania jednego pełnego cyklu ruchu, czyli jednego drgania.

Częstotliwość drgań (f) informuje natomiast o liczbie pełnych drgań w czasie jednej sekundy.

Związek pomiędzy okresem a częstotliwością jest więc następujący:

\(f= \frac{1}{T} \)

Im dłuższy jest okres drgań, tym mniejsza jest częstotliwość i odwrotnie.

Jednostką częstotliwości jest herc, który jest równy:

\([1Hz= \frac{1}{s} ]\)

Jeżeli ciało wykonuje np. 10 pełnych drgań w czasie jednej sekundy, oznacza to, że porusza się ono z częstotliwością 10Hz.

Częstość kołowa, inaczej pulsacja (ω),  jest wielkością ściśle powiązaną z częstotliwością, następującym równaniem:

\( \omega =2 \pi f\)

Przy opisie drgań harmonicznych jest ona bardzo wygodna, gdyż częstotliwość drgań zwykle występuje z czynnikiem 2π jako argument funkcji sinus lub cosinus.

Częstość kołowa jest wielkością ściśle powiązaną z masą ciała i jego własnościami sprężystymi.

\( \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \)

gdzie: k – współczynnik sprężystości, m – masa ciała.

Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 1.

Na wykresie przedstawiono zależność wychylenia od czasu ciała wykonującego drgania harmoniczne. Określ okres, częstotliwość, częstość kołową i amplitudę drgań. Zapisz równanie opisujące wychylenie w tym ruchu harmonicznycm.

Z wykresu można odczytać, że drgania zaczynają się powtarzać co 4 sekundy, stąd:
T = 4s
Ponieważ, \(f= \frac{1}{T} \), to f = 0,25 Hz. (Skoro jedno pełne drganie trwa 4 sekundy, to w czasie jednej sekundy ciało wykona jedną czwartą pełnego cyklu).

Częstość kołowa jest równa  \( \omega =2 \pi f=2 \pi \cdot 0,25 \frac{1}{s} = \frac{ \pi }{2} \frac {1} {s} \)

Z wykresu wynika, że maksymalne wychylenie ciała wynosi dwa metry, stąd A = 2m.

Ogólna postać równania na wychylenie w ruchu harmonicznym jest następująca:

\(x=Asin( \omega t)\)

Zastępując A i ω odpowiednimi wartościami, otrzymamy:

\(x=2sin( \frac{ \pi }{2} t)\)

Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 2.

Po jakim czasie ciało wykonujące drgania harmoniczne będzie miało wychylenie równe połowie amplitudy?

Dane:                                        Szukane:
x = A/2                                       t = ?

Rozwiązanie:

Ponieważ \(x=Asin( \omega t)\) i \(x= \frac{A}{2} \), to:

\( \frac{A}{2} =Asin( \omega t)\)

\(sin( \omega t)= \frac{1}{2} \)

Sinus osiąga wartość ½ dla kąta równego π/6 radianów (30°), więc:

\( \omega t= \frac{ \pi }{6} \)

\(t= \frac{ \pi }{6 \omega } \)

Ponieważ \( \omega = \frac{2 \pi }{T} \), to:

\(t= \frac{ \pi T}{6 \cdot 2 \pi } = \frac{T}{12} \)

Ciało osiągnie połowę maksymalnego wychylenia po czasie równym jednej dwunastej części okresu drgań.

Polecamy również:

Komentarze (4)
Wynik działania 1 + 3 =
marcel moskalow
2023-01-17 13:29:19
dzieki za pomoc mordy
nigerotto
2022-04-12 19:17:18
Dzienksuwa!
grzegorz
2020-10-04 09:48:54
Dziena!
ja
2019-03-17 16:26:30
ok
Ostatnio komentowane
fajny przydatny tekst
• 2025-04-27 18:43:52
ale banalne
• 2025-04-09 16:07:25
Może być
• 2025-03-27 18:35:05
siema mega fajne
• 2025-03-22 08:47:31
dzięki
• 2025-03-10 15:14:41