Okres drgań, częstotliwość drgań i częstość kołowa drgań

Okres drgań (T) jest to czas trwania jednego pełnego cyklu ruchu, czyli jednego drgania.

Częstotliwość drgań (f) informuje natomiast o liczbie pełnych drgań w czasie jednej sekundy.

Związek pomiędzy okresem a częstotliwością jest więc następujący:

$f= \frac{1}{T}$

Im dłuższy jest okres drgań, tym mniejsza jest częstotliwość i odwrotnie.

Jednostką częstotliwości jest herc, który jest równy:

$[1Hz= \frac{1}{s} ]$

Jeżeli ciało wykonuje np. 10 pełnych drgań w czasie jednej sekundy, oznacza to, że porusza się ono z częstotliwością 10Hz.

Częstość kołowa, inaczej pulsacja (ω),  jest wielkością ściśle powiązaną z częstotliwością, następującym równaniem:

$\omega =2 \pi f$

Przy opisie drgań harmonicznych jest ona bardzo wygodna, gdyż częstotliwość drgań zwykle występuje z czynnikiem 2π jako argument funkcji sinus lub cosinus.

Częstość kołowa jest wielkością ściśle powiązaną z masą ciała i jego własnościami sprężystymi.

$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$

gdzie: k – współczynnik sprężystości, m – masa ciała.

Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 1.

Na wykresie przedstawiono zależność wychylenia od czasu ciała wykonującego drgania harmoniczne. Określ okres, częstotliwość, częstość kołową i amplitudę drgań. Zapisz równanie opisujące wychylenie w tym ruchu harmonicznycm.

Z wykresu można odczytać, że drgania zaczynają się powtarzać co 4 sekundy, stąd:
T = 4s
Ponieważ, $f= \frac{1}{T}$, to f = 0,25 Hz. (Skoro jedno pełne drganie trwa 4 sekundy, to w czasie jednej sekundy ciało wykona jedną czwartą pełnego cyklu).

Częstość kołowa jest równa  $\omega =2 \pi f=2 \pi \cdot 0,25 \frac{1}{s} = \frac{ \pi }{2} \frac {1} {s}$

Z wykresu wynika, że maksymalne wychylenie ciała wynosi dwa metry, stąd A = 2m.

Ogólna postać równania na wychylenie w ruchu harmonicznym jest następująca:

$x=Asin( \omega t)$

Zastępując A i ω odpowiednimi wartościami, otrzymamy:

$x=2sin( \frac{ \pi }{2} t)$

Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 2.

Po jakim czasie ciało wykonujące drgania harmoniczne będzie miało wychylenie równe połowie amplitudy?

Dane:                                        Szukane:
x = A/2                                       t = ?

Rozwiązanie:

Ponieważ $x=Asin( \omega t)$ i $x= \frac{A}{2}$, to:

$\frac{A}{2} =Asin( \omega t)$

$sin( \omega t)= \frac{1}{2}$

Sinus osiąga wartość ½ dla kąta równego π/6 radianów (30°), więc:

$\omega t= \frac{ \pi }{6}$

$t= \frac{ \pi }{6 \omega }$

Ponieważ $\omega = \frac{2 \pi }{T}$, to:

$t= \frac{ \pi T}{6 \cdot 2 \pi } = \frac{T}{12}$

Ciało osiągnie połowę maksymalnego wychylenia po czasie równym jednej dwunastej części okresu drgań.