Okres drgań (T) jest to czas trwania jednego pełnego cyklu ruchu, czyli jednego drgania.
Częstotliwość drgań (f) informuje natomiast o liczbie pełnych drgań w czasie jednej sekundy.
Związek pomiędzy okresem a częstotliwością jest więc następujący:
\(f= \frac{1}{T} \)
Im dłuższy jest okres drgań, tym mniejsza jest częstotliwość i odwrotnie.
Jednostką częstotliwości jest herc, który jest równy:
\([1Hz= \frac{1}{s} ]\)
Jeżeli ciało wykonuje np. 10 pełnych drgań w czasie jednej sekundy, oznacza to, że porusza się ono z częstotliwością 10Hz.
Częstość kołowa, inaczej pulsacja (ω), jest wielkością ściśle powiązaną z częstotliwością, następującym równaniem:
\( \omega =2 \pi f\)
Przy opisie drgań harmonicznych jest ona bardzo wygodna, gdyż częstotliwość drgań zwykle występuje z czynnikiem 2π jako argument funkcji sinus lub cosinus.
Częstość kołowa jest wielkością ściśle powiązaną z masą ciała i jego własnościami sprężystymi.
\( \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \)
gdzie: k – współczynnik sprężystości, m – masa ciała.
Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 1.
Na wykresie przedstawiono zależność wychylenia od czasu ciała wykonującego drgania harmoniczne. Określ okres, częstotliwość, częstość kołową i amplitudę drgań. Zapisz równanie opisujące wychylenie w tym ruchu harmonicznycm.
Z wykresu można odczytać, że drgania zaczynają się powtarzać co 4 sekundy, stąd:
T = 4s
Ponieważ, \(f= \frac{1}{T} \), to f = 0,25 Hz. (Skoro jedno pełne drganie trwa 4 sekundy, to w czasie jednej sekundy ciało wykona jedną czwartą pełnego cyklu).
Częstość kołowa jest równa \( \omega =2 \pi f=2 \pi \cdot 0,25 \frac{1}{s} = \frac{ \pi }{2} \frac {1} {s} \)
Z wykresu wynika, że maksymalne wychylenie ciała wynosi dwa metry, stąd A = 2m.
Ogólna postać równania na wychylenie w ruchu harmonicznym jest następująca:
\(x=Asin( \omega t)\)
Zastępując A i ω odpowiednimi wartościami, otrzymamy:
\(x=2sin( \frac{ \pi }{2} t)\)
Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 2.
Po jakim czasie ciało wykonujące drgania harmoniczne będzie miało wychylenie równe połowie amplitudy?
Dane: Szukane:
x = A/2 t = ?
Rozwiązanie:
Ponieważ \(x=Asin( \omega t)\) i \(x= \frac{A}{2} \), to:
\( \frac{A}{2} =Asin( \omega t)\)
\(sin( \omega t)= \frac{1}{2} \)
Sinus osiąga wartość ½ dla kąta równego π/6 radianów (30°), więc:
\( \omega t= \frac{ \pi }{6} \)
\(t= \frac{ \pi }{6 \omega } \)
Ponieważ \( \omega = \frac{2 \pi }{T} \), to:
\(t= \frac{ \pi T}{6 \cdot 2 \pi } = \frac{T}{12} \)
Ciało osiągnie połowę maksymalnego wychylenia po czasie równym jednej dwunastej części okresu drgań.