Okres drgań, częstotliwość drgań i częstość kołowa drgań

Okres drgań (T) jest to czas trwania jednego pełnego cyklu ruchu, czyli jednego drgania.

Częstotliwość drgań (f) informuje natomiast o liczbie pełnych drgań w czasie jednej sekundy.

Związek pomiędzy okresem a częstotliwością jest więc następujący:

f= \frac{1}{T}

Im dłuższy jest okres drgań, tym mniejsza jest częstotliwość i odwrotnie.

Jednostką częstotliwości jest herc, który jest równy:

[1Hz= \frac{1}{s} ]

Jeżeli ciało wykonuje np. 10 pełnych drgań w czasie jednej sekundy, oznacza to, że porusza się ono z częstotliwością 10Hz.

Częstość kołowa, inaczej pulsacja (ω),  jest wielkością ściśle powiązaną z częstotliwością, następującym równaniem:

 \omega =2 \pi f

Przy opisie drgań harmonicznych jest ona bardzo wygodna, gdyż częstotliwość drgań zwykle występuje z czynnikiem 2π jako argument funkcji sinus lub cosinus.

Częstość kołowa jest wielkością ściśle powiązaną z masą ciała i jego własnościami sprężystymi.

 \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }

gdzie: k – współczynnik sprężystości, m – masa ciała.

Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 1.

Na wykresie przedstawiono zależność wychylenia od czasu ciała wykonującego drgania harmoniczne. Określ okres, częstotliwość, częstość kołową i amplitudę drgań. Zapisz równanie opisujące wychylenie w tym ruchu harmonicznycm.

Z wykresu można odczytać, że drgania zaczynają się powtarzać co 4 sekundy, stąd:
T = 4s
Ponieważ, f= \frac{1}{T} , to f = 0,25 Hz. (Skoro jedno pełne drganie trwa 4 sekundy, to w czasie jednej sekundy ciało wykona jedną czwartą pełnego cyklu).

Częstość kołowa jest równa   \omega =2 \pi f=2 \pi  \cdot 0,25 \frac{1}{s} = \frac{ \pi }{2}  \frac {1} {s}

Z wykresu wynika, że maksymalne wychylenie ciała wynosi dwa metry, stąd A = 2m.

Ogólna postać równania na wychylenie w ruchu harmonicznym jest następująca:

x=Asin( \omega t)

Zastępując A i ω odpowiednimi wartościami, otrzymamy:

x=2sin( \frac{ \pi }{2} t)

Okres, częstotliwość i częstość kołowa drgań – przykład 2.

Po jakim czasie ciało wykonujące drgania harmoniczne będzie miało wychylenie równe połowie amplitudy?

Dane:                                        Szukane:
x = A/2                                       t = ?

Rozwiązanie:

Ponieważ x=Asin( \omega t) i x= \frac{A}{2} , to:

 \frac{A}{2} =Asin( \omega t)

sin( \omega t)= \frac{1}{2}

Sinus osiąga wartość ½ dla kąta równego π/6 radianów (30°), więc:

 \omega t= \frac{ \pi }{6}

t= \frac{ \pi }{6 \omega }

Ponieważ  \omega = \frac{2 \pi }{T} , to:

t= \frac{ \pi T}{6 \cdot 2 \pi } = \frac{T}{12}

Ciało osiągnie połowę maksymalnego wychylenia po czasie równym jednej dwunastej części okresu drgań.

Polecamy również:

Komentarze (3)
Wynik działania 4 + 4 =
nigerotto
2022-04-12 19:17:18
Dzienksuwa!
grzegorz
2020-10-04 09:48:54
Dziena!
ja
2019-03-17 16:26:30
ok
Ostatnio komentowane
Super przydało mi się to do zadania z Religii
• 2022-09-29 12:48:27
Dziękuję, pomogło mi w nauce :)
• 2022-09-29 12:05:27
Bardzo pomocny
• 2022-09-29 09:23:04
By
• 2022-09-28 17:03:33