Promień orbity i energia atomu wodoru

Pierwszy postulat Bohra, który nakłada kwantowanie momentu pędu elektronu w atomie wodoru powoduje, że elektron nie może przebywać w dowolnej odległości od jądra atomu. Promienie dozwolonych orbit, na których może przebywać elektron są ściśle określone (są kwantowane). W celu znalezienia wartości promieni orbit należy założyć, że elektron krąży wokół jądra po torze kołowym oraz, że siłą dośrodkowych w tym ruchu jest siła oddziaływania Coulombowskiego pomiędzy dodatnim jądrem (protonem), a elektronem.

F _{d} =F _{c}

 \frac{mv ^{2} }{r} = \frac{k _{0} e ^{2} }{r ^{2} }  
gdzie: Fdsiła dośrodkowa, FC – siła Coulomba, m – masa elektronu, v – liniowa prędkość elektronu, r – promień orbity, k0 = 1/4πε0 – stała fizyczna, ε0 – przenikalność elektryczna próżni, e – wartość ładunku elementarnego.

Łącząc ostatnią zależność ze wzorem na pierwszy postulat Bohra (rmv = nh/2π), po stosunkowo prostych przekształceniach otrzymamy:

rmv= \frac{nh}{2 \pi }  \Rightarrow v ^{2} = \frac{n ^{2}h ^{2}  }{4 \pi  ^{2}r ^{2}m ^{2}   }

 \frac{mh ^{2}n ^{2}  }{4 \pi  ^{2} m ^{2}r ^{3}  }= \frac{k _{0} e ^{2} }{r ^{2} }

r _{n} = \frac{h ^{2} }{4 \pi  ^{2}mk _{0} \cdot e ^{2}   }  \cdot n ^{2}

Ostanie wyrażenie jest promieniem n-tej orbity atomu. Wyrażenie, które znajduje się przed n2 jest działaniem na samych wielkościach stałych. Daje ono wynik:

 \frac{h ^{2} }{4 \pi  ^{2}  \cdot mk _{0} \cdot e ^{2}  } =

 \frac{6,63 \cdot 10 ^{-34}J \cdot s }{4 \cdot (3,14) ^{2}  \cdot 9,1 \cdot 10 ^{-31} kg \cdot 9 \cdot 10 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2} }{c ^{2}  } (1,6 \cdot 10 ^{-19}C)  } =0,53 \cdot 10 ^{-10}m

Jest to promień pierwszej dozwolonej orbity w atomie wodoru. Promień n-tej orbity można więc wyrazić następująco:

r _{n} =0,53 \cdot 10 ^{-10} m \cdot n ^{2}  

 n – numer orbity (główna liczba kwantowa).

Kwantowanie promieni orbit sprawia, że energia atomu, znajdującego się w danym stanie również musi przyjmować ściśle określone wartości. Całkowita energia atomu jest sumą jego energii potencjalnej (Ep) i kinetycznej (Ek):

E _{c}=E _{p}  +E _{k}
 
Odpowiednie energie są równe:

E _{p}=- \frac{k _{0}e ^{2}  }{r}

E _{k} = \frac{mv ^{2} }{2} = \frac{k _{0} e ^{2} }{2r}
 
Zatem:

E _{c} =- \frac{k _{0} e ^{2} }{r} +\frac{k _{0} e ^{2} }{2r}=-\frac{k _{0} e ^{2} }{2r}

Zastępując promień orbity odpowiednim, wyprowadzonym wcześniej wyrażeniem, otrzymamy wzór na całkowitą energię atomu wodoru, znajdującego się w danym stanie kwantowym:

E _{n} =- \frac{2 \pi  ^{2}k _{0} ^{2}me ^{4}    }{h ^{2} }  \cdot  \frac{1}{n ^{2} }

Wyrażenie znajdujące się przed 1/n2 jest działaniem na wielkościach stałych. Daje ono wynik:

- \frac{2 \cdot (3,14) ^{2} \cdot \left(9 \cdot 10 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2} }{C ^{2} } \right) \cdot 9,1 \cdot 10 ^{-31}kg (1,6 \cdot 10 ^{-19}C) ^{4}    }{(6,63 \cdot 10 ^{-34}J \cdot s) ^{2}  }

=-13,6eV
 
Jest to energia stanu podstawowego atomu wodoru, tj. stanu, w którym elektron znajduje się na pierwszej dozwolonej orbicie. Energię atomu w stanie wzbudzonym można obliczyć ze wzoru:

E _{n} = \frac{-13,6eV}{n ^{2} }

Promień orbity i energia atomu wodoru – przykład.

Oblicz promień trzeciej dozwolonej orbity atomu wodoru oraz całkowitą energię atomu, znajdującego się w tym stanie?

Rozwiązanie:

 r _{3} =0,53 \cdot 10 ^{-10}m \cdot 3 ^{2} =4,77 \cdot 10 ^{-10} m

E _{3} = \frac{-13,6eV}{3 ^{2} } =-1,51eV

Polecamy również:

  • Postulaty Bohra

    Model Bohra budowy atomu wodoru opiera się na dwóch założeniach, zwanych obecnie postulatami Bohra.Postulat 1. Elektron w atomie wodoru może przebywać tylko na takich orbitach, dla których jego moment pędu jest całkowitą wielokrotnością stałej Plancka podzielonej przez 2π. Orbita taka nazywana jest... Więcej »

  • Serie widmowe atomu wodoru

    Linie widmowe atomu powstają w wyniku przejść elektronu pomiędzy dozwolonymi orbitami. Więcej »

Komentarze (2)
Wynik działania 4 + 4 =
Maturzysta
2019-04-22 10:43:04
Dziękuję, bardzo przydatne
piotr
2018-11-04 21:54:30
Bardzo dzikuje
Ostatnio komentowane
Super przydało mi się to do zadania z Religii
• 2022-09-29 12:48:27
Dziękuję, pomogło mi w nauce :)
• 2022-09-29 12:05:27
Bardzo pomocny
• 2022-09-29 09:23:04
git
• 2022-09-27 14:46:23
Ok
• 2022-09-27 12:59:27