Pierwszy postulat Bohra, który nakłada kwantowanie momentu pędu elektronu w atomie wodoru powoduje, że elektron nie może przebywać w dowolnej odległości od jądra atomu. Promienie dozwolonych orbit, na których może przebywać elektron są ściśle określone (są kwantowane). W celu znalezienia wartości promieni orbit należy założyć, że elektron krąży wokół jądra po torze kołowym oraz, że siłą dośrodkowych w tym ruchu jest siła oddziaływania Coulombowskiego pomiędzy dodatnim jądrem (protonem), a elektronem.
\(F _{d} =F _{c} \)
\( \frac{mv ^{2} }{r} = \frac{k _{0} e ^{2} }{r ^{2} } \)
gdzie: Fd – siła dośrodkowa, FC – siła Coulomba, m – masa elektronu, v – liniowa prędkość elektronu, r – promień orbity, k0 = 1/4πε0 – stała fizyczna, ε0 – przenikalność elektryczna próżni, e – wartość ładunku elementarnego.
Łącząc ostatnią zależność ze wzorem na pierwszy postulat Bohra (rmv = nh/2π), po stosunkowo prostych przekształceniach otrzymamy:
\(rmv= \frac{nh}{2 \pi } \Rightarrow v ^{2} = \frac{n ^{2}h ^{2} }{4 \pi ^{2}r ^{2}m ^{2} } \)
\( \frac{mh ^{2}n ^{2} }{4 \pi ^{2} m ^{2}r ^{3} }= \frac{k _{0} e ^{2} }{r ^{2} } \)
\(r _{n} = \frac{h ^{2} }{4 \pi ^{2}mk _{0} \cdot e ^{2} } \cdot n ^{2} \)
Ostanie wyrażenie jest promieniem n-tej orbity atomu. Wyrażenie, które znajduje się przed n2 jest działaniem na samych wielkościach stałych. Daje ono wynik:
\( \frac{h ^{2} }{4 \pi ^{2} \cdot mk _{0} \cdot e ^{2} } =\)
\( \frac{6,63 \cdot 10 ^{-34}J \cdot s }{4 \cdot (3,14) ^{2} \cdot 9,1 \cdot 10 ^{-31} kg \cdot 9 \cdot 10 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2} }{c ^{2} } (1,6 \cdot 10 ^{-19}C) } =0,53 \cdot 10 ^{-10}m \)
Jest to promień pierwszej dozwolonej orbity w atomie wodoru. Promień n-tej orbity można więc wyrazić następująco:
\(r _{n} =0,53 \cdot 10 ^{-10} m \cdot n ^{2} \)
n – numer orbity (główna liczba kwantowa).
Kwantowanie promieni orbit sprawia, że energia atomu, znajdującego się w danym stanie również musi przyjmować ściśle określone wartości. Całkowita energia atomu jest sumą jego energii potencjalnej (Ep) i kinetycznej (Ek):
\(E _{c}=E _{p} +E _{k} \)
Odpowiednie energie są równe:
\(E _{p}=- \frac{k _{0}e ^{2} }{r} \)
\(E _{k} = \frac{mv ^{2} }{2} = \frac{k _{0} e ^{2} }{2r} \)
Zatem:
\(E _{c} =- \frac{k _{0} e ^{2} }{r} +\frac{k _{0} e ^{2} }{2r}=-\frac{k _{0} e ^{2} }{2r}\)
Zastępując promień orbity odpowiednim, wyprowadzonym wcześniej wyrażeniem, otrzymamy wzór na całkowitą energię atomu wodoru, znajdującego się w danym stanie kwantowym:
\(E _{n} =- \frac{2 \pi ^{2}k _{0} ^{2}me ^{4} }{h ^{2} } \cdot \frac{1}{n ^{2} } \)
Wyrażenie znajdujące się przed 1/n2 jest działaniem na wielkościach stałych. Daje ono wynik:
\(- \frac{2 \cdot (3,14) ^{2} \cdot \left(9 \cdot 10 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2} }{C ^{2} } \right) \cdot 9,1 \cdot 10 ^{-31}kg (1,6 \cdot 10 ^{-19}C) ^{4} }{(6,63 \cdot 10 ^{-34}J \cdot s) ^{2} }\)
\(=-13,6eV\)
Jest to energia stanu podstawowego atomu wodoru, tj. stanu, w którym elektron znajduje się na pierwszej dozwolonej orbicie. Energię atomu w stanie wzbudzonym można obliczyć ze wzoru:
\(E _{n} = \frac{-13,6eV}{n ^{2} } \)
Promień orbity i energia atomu wodoru – przykład.
Oblicz promień trzeciej dozwolonej orbity atomu wodoru oraz całkowitą energię atomu, znajdującego się w tym stanie?
Rozwiązanie:
\(r _{3} =0,53 \cdot 10 ^{-10}m \cdot 3 ^{2} =4,77 \cdot 10 ^{-10} m\)
\(E _{3} = \frac{-13,6eV}{3 ^{2} } =-1,51eV\)