Kontrakcja długości

Kontrakcja (skrócenie) długości jest zjawiskiem polegającym na zmianie długości poruszającego się ciała, mierzonej względem określonego, inercjalnego układu odniesienia. Efekt ten wynika z transformacji Lorentza i jest mierzalny tylko w przypadku prędkości zbliżonych do prędkości absolutnej. Skróceniu ulega tylko ten wymiar, który jest równoległy do kierunku prędkości układu.

Na rysunku przedstawiono pręt, który porusza się wraz z układem odniesienia O` z prędkością o wartości v, mierzoną względem nieruchomego układu O. Długość pręta zmierzona w układzie O` (względem, którego pręt się nie przemieszcza) jest równa różnicy odpowiednich współrzędnych x`, zatem:

\(L _{0}=x' _{2} -x' _{1} \)
 
Długość tego samego pręta zmierzona względem układu O, wynosi:

\(L=x _{2} -x _{1} \)
 
Zastosowanie transformacji Lorentza dla odpowiednich współrzędnych przestrzennych daje wynik:

\(x' _{1}= \gamma (x _{1} -vt)\)

\(x' _{2}= \gamma (x _{2} -vt)\)

Odejmując stronami powyższe dwa równania otrzymamy:

\(x' _{2}-x' _{1} = \gamma (x _{2} -x _{1}) \) , zatem:

\(l _{0} = \gamma l\)
 
Ponieważ \( \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } } \) , to ostanie równanie można również zapisać w postaci:

\(l=l _{0} \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } \)

Widać, że skrócenie odcinka jest tym większe, im większa jest prędkość ciała.

Kontrakcja długości – przykład.

Z jaką prędkością powinno poruszać się ciało, aby w nieruchomym układzie odniesienia jego długość była dwukrotnie mniejsza?

Dane:                                        Szukane:
L = L₀/2                                      v = ?
c = 3•10⁸m/s

Rozwiązanie:
Skoro \(l=l _{0} \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } \) oraz \(L= \frac{L _{0} }{2} \) , to:

\( \frac{L _{0} }{2} =L _{0} \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } \)

\( \frac{1}{2}= \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } \)

\(v= \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot c \approx 2,6 \cdot 10 ^{8} \frac{m}{s} \)