Na rysunku przedstawiono dwa układy odniesienia O i O`, poruszające się względem siebie z prędkością u, skierowaną równolegle do osi odciętych. Prędkość ciała mierzona względem układu O` wynosi v`, natomiast ta sama prędkość mierzona względem układu O wynosi v.
Odstępy drogi pokonanej przez ciało oraz czasu, w którym ta droga została pokonana, są dla obydwu układów odniesienia powiązane transformacją Lorentza, zgodnie z którą możemy napisać:
\( \Delta x= \gamma ( \Delta x' +u \Delta t') \)
\( \Delta t= \gamma ( \Delta x'
+ \ \frac{u \Delta x'}{c ^{2}} )\)
gdzie: \( \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{u ^{2} }{c ^{2} }} } \)- czynnik Lorentza.
Prędkość w ruchu jednostajnym jest z definicji równa stosunkowi przebytej drogi do czasu. Zatem dzieląc pierwsze z przedstawionych równań przez drugie otrzymamy:
\(v= \frac{ \Delta x}{ \Delta t} = \frac{ \Delta x'+u \Delta t'}{ \Delta t'+ \frac{u \Delta x'}{c ^{2} } } \)
Dzieląc licznik i mianownik prawej strony ostatniego równania przez Δt`, otrzymamy:
\(v= \frac{ \frac{ \Delta x'}{ \Delta t'} +u}{1+ \frac{u \frac{ \Delta x'} { \Delta t'}}{c ^{2} }\)
Wyrażenie \( \frac{ \Delta x'}{ \Delta t'} \) jest prędkością ciała względem układu O`, zatem ostatnie równanie można zapisać w postaci:
\(v= \frac{v'+u}{1+ \frac{uv'}{c ^{2} } } \) - jest to tzw. relatywistyczne prawo składania prędkości.
Relatywistyczne prawo składania prędkości – przykład.
Dwa elektrony poruszają się naprzeciw siebie z prędkościami równymi 0,9c. Ile wynosi ich względna prędkość? Otrzymany wynik porównaj z wynikiem nierelatywistycznym.
Dane: Szukane:
v` = u = 0,9c v = ?
Rozwiązanie:
\(v= \frac{v'+u}{1+ \frac{uv'}{c ^{2} } } \)
\(v= \frac{0,9c+0,9c}{1+ \frac{0,9c \cdot 0,9c}{c ^{2} } } \approx 0,99c\)
W przypadku klasycznego prawa składania prędkości otrzymamy:
\(v=v'+u=0,9c+0,9c=1,8c\)
Widać, że klasyczna transformacja Galileusza daje błędny wynik, gdyż zgodnie z drugim postulatem Alberta Einsteina nie można przekroczyć prędkości światła.