Dylatacja czasu jest zjawiskiem polegającym na wydłużeniu czasu trwania pewnego zjawiska w wyniku ruchu inercjalnego układu odniesienia względem innego spoczywającego układu. W celu znalezienia różnicy w tempie upływu czasu w dwóch różnych układach posłużymy się pojęciem zegara świetlnego. Zegar świetlny zbudowany jest z dwóch równoległych do siebie zwierciadeł płaskich, pomiędzy którymi zamknięty jest krótki impuls światła. Ponieważ pomiędzy zwierciadłami jest próżnia, to światło rozchodzi się ze stałą prędkością o wartości c.Rys.1. Schemat działania zegara świetlnego.
Jedno tyknięcie zegara świetlnego jest to odstęp czasu, jaki potrzebuje światło na dwukrotne pokonanie odległości pomiędzy zwierciadłami (tam i z powrotem). Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnym jest stosunkiem przebytej drogi do czasu, w którym ta droga została pokonana, to można napisać:
\(c= \frac{2L}{t} \Rightarrow t= \frac{2L}{c} \)
Długość zegara (L) i prędkość światła są stałe, zatem zegar odmierza równe odstępy czasu.
W przypadku zegara poruszającego się z prędkością v względem nieruchomego układu odniesienia droga impulsu świetlnego pomiędzy zwierciadłami będzie dłuższa niż w przypadku zegara spoczywającego.
Rys.2. Droga impulsu świetlnego w przypadku zegara poruszającego się z prędkością v.
Czas t` jaki upłyną w układzie poruszającym się jest równy:
\(t'= \frac{2x}{c} \)
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa odcinek drogi x jest równy:
\(x= \sqrt{L ^{2} +\left( \frac{vt'}{2}\right) ^{2} } \)
Wstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru na czas t`, otrzymamy:
\(t'= \frac{2 \sqrt{L ^{2} +\left( \frac{vt'}{2}\right) ^{2} }}{c} \)
Po prostych przekształceniach otrzymamy wartość czasu jaki upłynął w układzie poruszającym się:
\(t'= \frac{2L }{c \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} }\)
Porównując ze sobą czasy t i t` otrzymamy:
\( \frac{t'}{t} = \frac{2L}{c \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } } \cdot \frac{c}{2L} = \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } } \)
\(t'= \frac{t}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } } \)
\(t'= \gamma t\)
Gdzie: \( \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } } \) - czynnik Lorentza.
Z ostatniego równania wynika, że wydłużenie odstępu czasu jest tym większe, im większa jest prędkość układu odniesienia. Efekt ten jest mierzalny w przypadku prędkości porównywalnych do prędkości światła w próżni.
Dylatacja czasu – przykład.
Pojazd kosmiczny porusza się względem Ziemi z prędkością 0,6c. Ile czasu upłynęło na Ziemi jeżeli na statku kosmicznym minęła godzina?
Dane: Szukane:
v = 0,6c t` = ?
t = 1h
Rozwiązanie:
\(t'= \frac{t}{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2} } } \)
\(t'= \frac{1h}{ \sqrt{1- \frac{(0,6c) ^{2} }{c ^{2} } } }=1,25h\)