Funkcja wymierna - własności funkcji, przykłady - strona 2

zbiorem wartości jest zbiór \mathbb{ R}  \setminus \{0\}.

 

Funkcję f(x) =  \frac{a}{x} można oczywiście przekształcać podobnie jak inne funkcje.

Przesunięcie jej o wektor [p,q] zmienia równania jej asymptot na x=p, y=q, dziedzinę na \mathbb{ R}  \setminus \{p\}, zbiór wartości na \mathbb{ R}  \setminus \{q\}. Różnowartościowość ani monotoniczność nie ulegają zmianie. Jeśli q \neq 0 funkcja mieć będzie miejsce zerowe.

 

Inne funkcje wymierne

Inne przykładowe funkcje wymierne to f(x)= \frac{x}{x-1} , g(x) =  \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} , h(x)= \frac{x^2+3x-5}{x^2-6x+9} , itd. Wyznaczenie ich dziedziny polega na wykluczeniu ze zbioru liczb rzeczywistych tych argumentów, które zerują mianownik. Dla podanych tu funkcji są to odpowiednio 1 dla f(x), -1 i 3 dla g(x) oraz -3 dla h(x).

Szczególnym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna.

 

Funkcja będąca sumą funkcji wymiernych sama również jest funkcją wymierną.

Przykład:

Znajdziemy funkcję będącą sumą funkcji f(x)= \frac{x}{x-1} i g(x) =  \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} . W tym celu sprowadzimy obie funkcje do wspólnego mianownika będącego iloczynem mianowników obu funkcji.

 \frac{x}{x-1} + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)} =
 \frac{x}{x-1} \cdot  \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)}  + \frac{x-2}{(x+1)(x-3)}  \cdot  \frac{x-1}{x-1}=


 \frac{x(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+1)(x-3)} + \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} =
 \frac{x(x+1)(x-3)+(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-3)(x-1)} =


 \frac{x(x^2+x-3x-3)+(x^2-x-2x+2)}{(x+1)(x-3)(x-1)} =
 \frac{x^3-2x^2-3x+x^2-3x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)} =

 \frac{x^3-x^2-6x+2}{(x+1)(x-3)(x-1)}

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 4 =
Ostatnio komentowane
fajne
• 2022-05-21 18:27:45
Lol
• 2022-05-21 10:11:52
Sgshbs svsh shs. Snga s sjsvw. Ajags. Anahsc a smgsvs anshab anhs a naha auacqb w anwvvab ...
• 2022-05-20 14:58:05
Słabe dostałem 1
• 2022-05-19 09:29:27
Bardzo słaba lektura :/
• 2022-05-19 06:45:01