Równanie Schrödingera

Podane w 1926 roku przez Erwina Schrodingera równanie jest obecnie podstawowym równaniem mechaniki kwantowej. Opisuje ono rozwój stanu kwantowego w zależności od czasu i współrzędnych przestrzennych, co wymaga zastosowania funkcji falowej.
Funkcja falowa, występująca w równaniu Schrodingera jest funkcją bardziej skomplikowaną niż odpowiednia wielkość dla fal mechanicznych, czy elektromagnetycznych, gdyż fala materii oprócz energii i pędu przenosi masę, a także w niektórych przypadkach ładunek elektryczny.  
Najprostszą formą równania Schrodingera jest równanie dla jednej zmiennej przestrzennej x (dla ruchu jednowymiarowego) i niezależne od czasu. Ma ono postać:

\( \frac{d ^{2} \ps}{dx ^{2} } =- \frac{8 \pi ^{2} m}{h ^{2} } [E-E _{p}(x) ]\psi\)
 
gdzie: d²/dx² – druga pochodna po zmiennej przestrzennej x, ψ – funkcja falowa, m – masa cząstki, h – stała Plancka, E – całkowita energia mechaniczna, E_p(x) – energia potencjalna, będąca funkcją zmiennej przestrzennej w kierunku x.

Rozwiązanie przedstawionego powyżej równania polega na znalezieniu odpowiedniej funkcji falowej i wartości całkowitej energii dla odpowiedniej wartości energii potencjalnej.

Stosowanie równania Schrodingera w przypadku elektronu związanego w atomie jest bardziej skomplikowane, gdyż jest to przypadek trójwymiarowy. Odpowiednie równanie ma wówczas postać:

\( \frac{\delta ^{2} \psi(x,y,z)}{ \delta x ^{2} } +\frac{\delta ^{2} \psi(x,y,z)}{ \delta y ^{2} }+\frac{\delta ^{2} \psi(x,y,z)}{ \delta z ^{2} }=\)

\(- \frac{8 \pi ^{2}m }{h ^{2} } [E-E _{p} (x,y,z)]\psi (x,y,z)\)

Rozwiązanie równania Schrodingera w przypadku jednowymiarowym wymaga podania wartości tylko jednej liczby kwantowej – tej samej, co w przypadku modelu Bohra atomu wodoru. Przypadek trójwymiarowy wymaga natomiast podania wartości trzech różnych liczb kwantowych, które są wzajemnie powiązane, co powoduje większą liczbę możliwych stanów kwantowych atomu, aniżeli miało to miejsce w modelu Bohra.

Funkcja falowa, występująca w omawianym równaniu nie ma żadnej interpretacji fizycznej (jest ona funkcją zespoloną). Kwadrat jej modułu \(|\psi| ^{2} \) jest natomiast zawsze rzeczywisty i dodatni i można go zinterpretować jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki na danym obszarze.
Równanie Schrodingera jest podstawową zasadą i nie można go wyprowadzić z innych, bardziej podstawowych zasad.