Jeżeli pewna masa (m) przymocowana do sprężyny o współczynniku sprężystości k zostanie wychylona z położenia równowagi, a następnie swobodnie puszczona, to zacznie ona oscylować wokół początkowego położenia.
Z przedstawionego rysunku wynika, że jeżeli pominiemy siły tarcia (a więc i ciężar ciała), to jedyną siłą działającą na ciężarek jest siła sprężystości, która jak wynika z prawa Hooke`a jest liniową funkcją wychylenia i jest zawsze do niego przeciwnie skierowana;
F = - kx
gdzie: x – wychylenie.
Siła sprężystości spełnia więc wszystkie warunki, które są niezbędne do powstania ruchu harmonicznego. Ciężarek zawieszony na sprężynie należy traktować jako oscylator harmoniczny.
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła jest iloczynem masy ciała i jego przyspieszenia (a):
F = ma
Porównując stronami dwa ostatnie równania otrzymamy:
ma = -kx
Ponieważ przyspieszenie w ruchu harmonicznym wyraża się wzorem:
a = -ω2x (ω – częstość kołowa drgań), to:
-mω2x = -kx
Po prostych przekształceniach otrzymamy:
Częstość kołowa jest powiązana z okresem drgań następującą zależnością , więc:
Okres drgań ciężarka zawieszonego zależy jedynie od masy ciała i współczynnika sprężystości.
Drgania ciężarka zawieszonego na sprężynie – przykład.
Pod działaniem siły F = 10N sprężyna ulega wydłużeniu o x = 0,2m. Oblicz okres drgań ciała o masie m = 0,5kg, przymocowanego do tej sprężyny. Pomiń siły oporu.
Rozwiązanie:
Aby obliczyć okres drgań, trzeba najpierw znaleźć współczynnik sprężystości. W tym celu należy posłużyć się prawem Hooke`a. Skoro: F = - kx, to
Podstawiając tą wartość do wzoru na okres drgań otrzymamy: