Jeżeli pewna masa (m) przymocowana do sprężyny o współczynniku sprężystości k zostanie wychylona z położenia równowagi, a następnie swobodnie puszczona, to zacznie ona oscylować wokół początkowego położenia.
Z przedstawionego rysunku wynika, że jeżeli pominiemy siły tarcia (a więc i ciężar ciała), to jedyną siłą działającą na ciężarek jest siła sprężystości, która jak wynika z prawa Hooke`a jest liniową funkcją wychylenia i jest zawsze do niego przeciwnie skierowana;
F = - kx
gdzie: x – wychylenie.
Siła sprężystości spełnia więc wszystkie warunki, które są niezbędne do powstania ruchu harmonicznego. Ciężarek zawieszony na sprężynie należy traktować jako oscylator harmoniczny.
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła jest iloczynem masy ciała i jego przyspieszenia (a):
F = ma
Porównując stronami dwa ostatnie równania otrzymamy:
ma = -kx
Ponieważ przyspieszenie w ruchu harmonicznym wyraża się wzorem:
a = -ω2x (ω – częstość kołowa drgań), to:
-mω2x = -kx
Po prostych przekształceniach otrzymamy:
\( \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \)
Częstość kołowa jest powiązana z okresem drgań następującą zależnością \( \omega = \frac{2 \pi }{T} \) , więc:
\(T=2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } \)
Okres drgań ciężarka zawieszonego zależy jedynie od masy ciała i współczynnika sprężystości.
Drgania ciężarka zawieszonego na sprężynie – przykład.
Pod działaniem siły F = 10N sprężyna ulega wydłużeniu o x = 0,2m. Oblicz okres drgań ciała o masie m = 0,5kg, przymocowanego do tej sprężyny. Pomiń siły oporu.
Rozwiązanie:
Aby obliczyć okres drgań, trzeba najpierw znaleźć współczynnik sprężystości. W tym celu należy posłużyć się prawem Hooke`a. Skoro: F = - kx, to
\(|k|= \frac{F}{x} = \frac{10N}{0,2m} =50 \frac{N}{m} \)
Podstawiając tą wartość do wzoru na okres drgań otrzymamy:
\(T=2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } =2 \cdot 3,14 \sqrt{ \frac{0,5kg}{50 \frac{N}{m} } } \approx 0,63s\)