Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, wychylonej z położenia równowagi o kąt \( \alpha \). Wahadło to możemy z dobrym przybliżeniem traktować jako ciężką i niewielką kulę, zawieszoną na lince.
Na rysunku przedstawiono siły działające na wahadło matematyczne wychylone z położenia równowagi o kąt \( \alpha \).
Wypadkowa siła F, wymuszająca ruch harmoniczny jest równa:
F = -mgsin\( \alpha \).
W przypadku małych kątów (mniejszych niż 7°) sin\( \alpha \) = \( \alpha \), więc można napisać, że F = -mg\( \alpha \).
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła jest iloczynem masy i przyspieszeni – F = ma. Porównując dwa ostatnie równania otrzymamy:
ma = -mg\( \alpha \)
a = -g\( \alpha \)
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym oraz kąt \( \alpha \) są odpowiednio równe:
\(a=- \omega ^{2} x\)
\( \alpha = \frac{x}{l} \), stąd:
\(- \omega ^{2} x=-g \frac{x}{l} \)
Po prostych przekształceniach otrzymamy:
\( \omega = \sqrt{ \frac{g}{l} } \)
Ponieważ \( \omega = \frac{2 \pi }{T} \) , to okres drgań wahadła matematycznego jest równy:
\(T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } \)
Zwróćmy uwagę, że okres drgań wahadła nie zależy od jego masy, a jedynie od jego długości.
Wahadło matematyczne – przykład.
Jaką długość ma wahadło sekundowe umieszczone na Ziemi?
Dane: Szukane:
T = 1s l = ?
g = 10m/s2
Rozwiązanie:
Wahadło sekundowe to wahadło, którego okres drgań wynosi jedną sekundę.
Ponieważ \(T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } \) , to:
\(L= \frac{gT ^{2} }{4 \pi ^{2} } = \frac{10 \frac{m}{s ^{2} } \cdot 1s ^{2} }{4(3,14) ^{2} } \approx 0,25m \)