1. Strona główna
    2. /
  2. Fizyka
    3. /
  3. Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, wychylonej z położenia równowagi o kąt \alpha . Wahadło to możemy z dobrym przybliżeniem traktować jako ciężką i niewielką kulę, zawieszoną na lince.

Na rysunku przedstawiono siły działające na wahadło matematyczne wychylone z położenia równowagi o kąt \alpha .
Wypadkowa siła F, wymuszająca ruch harmoniczny jest równa:

F = -mgsin \alpha .

W przypadku małych kątów (mniejszych niż 7°) sin \alpha = \alpha , więc można napisać, że F = -mg \alpha .

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła jest iloczynem masy i przyspieszeni – F = ma. Porównując dwa ostatnie równania otrzymamy:

ma = -mg \alpha
a = -g \alpha

Przyspieszenie w ruchu harmonicznym oraz kąt  \alpha są odpowiednio równe:

a=- \omega ^{2} x

\alpha = \frac{x}{l} , stąd:

- \omega ^{2} x=-g \frac{x}{l}

Po prostych przekształceniach otrzymamy:

\omega = \sqrt{ \frac{g}{l} }

Ponieważ  \omega = \frac{2 \pi }{T} , to okres drgań wahadła matematycznego jest równy:

T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }

Zwróćmy uwagę, że okres drgań wahadła nie zależy od jego masy, a jedynie od jego długości.

Wahadło matematyczne – przykład.

Jaką długość ma wahadło sekundowe umieszczone na Ziemi?

Dane:                                    Szukane:
T = 1s                                    l = ?
g = 10m/s2

Rozwiązanie:
Wahadło sekundowe to wahadło, którego okres drgań wynosi jedną sekundę.

Ponieważ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } , to:

L= \frac{gT ^{2} }{4 \pi ^{2} } = \frac{10 \frac{m}{s ^{2} } \cdot 1s ^{2} }{4(3,14) ^{2} } \approx 0,25m

Polecamy również:

  • Wahadło fizyczne

    Wahadło fizyczne to dowolna bryła sztywna, zawieszona w taki sposób, że oś obrotu znajduje się powyżej jej środka masy. Więcej »

  • Wahadło torsyjne

    Wahadło torsyjne, nazywane również wahadłem skrętnym, jest oscylatorem harmonicznym zbudowanym z bryły sztywnej, przymocowanej jednym końcem do cienkiego pręta, który może być poddawany naprężeniom skrętnym. Więcej »

  • Drgania ciężarka zawieszonego na sprężynie

    Jeżeli pewna masa (m) przymocowana do sprężyny o współczynniku sprężystości k zostanie wychylona z położenia równowagi , a następnie swobodnie puszczona, to zacznie ona oscylować wokół początkowego położenia. Więcej »

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 2 =
Ostatnio komentowane
Koniec świata nr 13 - streszczenie
co to za ludzie
• 2024-10-05 16:24:59
Momo - bohaterowie
Yyytf
• 2024-10-04 09:18:36
Przywilej czerwiński (1422)
Masz
• 2024-09-27 07:49:55
Rozbicie dzielnicowe w Polsce (1138-1320)
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33