Liczba Pi - historia, definicja, przybliżenia, wzory - strona 4



- obwód koła (długość okręgu): Obw _{ \circ } =2 \pi r,

- pole koła: Pole _{ \circ } = \pi r^{2} ,

- powierzchnia kuli: P _{kuli} =4 \pi r ^{2} ,

- objętość kuli: V _{kuli} = \frac{4}{3} \pi r ^{3} .

Szeregi zbieżne do \pi

Kolejnym zadziwiającym faktem jest to, że liczbę \pi bądź jakieś wyrażenie ją zawierające daje się opisać wieloma ciekawymi szeregami zbiegającymi do jej wartości (tj. w miarę dodawania do sumy kolejnych składników przybliżamy się do wartości \pi bądź wyrażenia ją zawierającego). Poniżej podajemy dwa takie szeregi.

1- \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} +... = \frac{ \pi }{4} - prosty szereg podany przez Leibniza, złożony z odwrotności kolejnych liczb nieparzystych przeplatanych znakami plus i minus. Niestety zbiega do \frac{ \pi }{4} dość wolno.

- 1+ \frac{1}{2 ^{2} } + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2} } + \frac{1}{5 ^{2} } +... = \frac{ \pi ^{2} }{6} - szereg podany przez Eulera.

Własności liczby \pi

- jest liczbą niewymierną (dowód podał w 1761 roku Lambert) - tak podejrzewali matematycy od lat ale dopiero Lambert podał pierwszy ścisły dowód tego faktu. Obecnie istnieje wiele dowodów niewymierności liczby \pi stosujących różne techniki (np. pewne całki). Lambert w swoim dowodzie używał tzw. ułamków łańcuchowych.

- jest liczbą przestępną (dowiódł tego w 1882 roku Lindemann rozstrzygając tym samym problem kwadratury koła), tzn. nie jest rozwiązaniem żadnego równania algebraicznego a zatem takiego, w którym występują tylko potęgi zmiennej x i wszystkie współczynniki są wy

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 1 =
Ostatnio komentowane
????✨
Miluuii • 2021-05-14 07:38:31
33
33 • 2021-05-14 07:18:27
Nie opisali różnic mitologi greckiej a rzymskiej.
Uczennica • 2021-05-14 06:23:31
elo
jonatan • 2021-05-13 14:50:49
Tekst wsm fajny, ale tak dziwnie napisany, nie da się nic zrozumieć, lepiej się popraw ...
Ktos mondry • 2021-05-13 12:45:10