Zasada superpozycji pól jest narzędziem umożliwiającym znajdowanie wypadkowego natężenia pola i wypadkowego potencjału pola w przypadkach, gdy pole grawitacyjne powstaje w wyniku nałożenia się n pól grawitacyjnych, wytworzonych przez układ n mas.
Zasada ta polega na sumowaniu natężeń pól lub potencjałów pochodzących od poszczególnych ciał. Aby to lepiej zrozumieć przeanalizujmy poniższy przykład.
Zasada superpozycji pól – przykład.
Na rysunku przedstawiono układ trzech mas o wartościach 1kg, 2kg i 3kg, znajdujących się na jednej prostej w równych odległościach R = 2m. Znajdź wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego i wypadkowy potencjał pola w punkcie A, znajdującym się po środku mas 1 i 2.
Rozwiązanie:
Aby znaleźć wypadkowy potencjał należy, zgodnie z zasadą superpozycji, algebraicznie dodać potencjały pochodzące od wszystkich mas:
\(V _{w} =V _{1} +V _{2} +V _{3} \)
Odpowiednie potencjały są równe:
\(V _{1} = \frac{-Gm _{1} }{ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{1} }{R} \)
\(V _{2} = \frac{-Gm _{2} }{ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{2} }{R} \)
\(V _{3} = \frac{-Gm _{3} }{R+ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{3} }{3R} \), stąd:
\(V _{w} = \frac{-2Gm _{1} }{R} - \frac{2Gm _{2} }{R} - \frac{2G m_{3} }{R} = \frac{-2G}{R} (m _{1}+m _{2 }+ \frac{m _{3} }{3} } )\)
\(V _{w} = \frac{-2 \cdot 6,67 \cdot 10 ^{-11} \frac{Nm ^{2} }{kg ^{2} } }{2m} (1kg+2kg+1kg)=-26,68 \cdot 10 ^{-11} \frac{J}{kg} \)
Wyznaczenie wypadkowego natężenia pola jest nieco trudniejsze, gdyż jest ono wielkością wektorową (posiada wartość, kierunek i zwrot). Najprościej jest zaznaczyć kierunki wektorów natężenia na rysunku pamiętając, że zwrot wektora natężenia pola grawitacyjnego jest zawsze skierowany do środka ciała wytwarzającego to pole.
Z powyższego rysunku wynika, że wypadkowe natężenie pola jest równe:
\( \gamma _{w} =- \gamma _{1} + \gamma _{2} + \gamma _{3} \)
Odpowiednie natężenia są równe:
\( \gamma _{1} = \frac{Gm _{1} }{( \frac{R}{2}) ^{2} } = \frac{4Gm _{1} }{R ^{2} } \)
\( \gamma _{2} = \frac{Gm _{2} }{( \frac{R}{2}) ^{2} } = \frac{4Gm _{2} }{R ^{2} } \)
\( \gamma _{3} = \frac{Gm _{} }{( \frac{3}{2}R) ^{2} } = \frac{4Gm _{3} }{9R ^{2} } \), stąd:
\( \gamma _{w} = \frac{-4Gm _{1} }{R ^{2} } + \frac{4Gm _{2} }{R ^{2} } + \frac{4Gm _{3} }{9R ^{2} } = \frac{4G}{R ^{2} } (-m _{1} +m _{2} + \frac{1}{9} m _{3} )\)
\( \gamma _{w} = \frac{4 \cdot 6,67 \cdot 10 ^{-11} \frac{Nm ^{2} }{kg ^{2} } }{(2m) ^{2} } (-1kg+2kg+ \frac{1}{9} \cdot 3kg) \approx 8,9 \cdot 10 ^{-11} \frac{N}{kg} \)