Zasada superpozycji pól

Zasada superpozycji pól jest narzędziem umożliwiającym znajdowanie wypadkowego natężenia pola i wypadkowego potencjału pola w przypadkach, gdy pole grawitacyjne powstaje w wyniku nałożenia się n pól grawitacyjnych, wytworzonych przez układ n mas.

Zasada ta polega na sumowaniu natężeń pól lub potencjałów pochodzących od poszczególnych ciał. Aby to lepiej zrozumieć przeanalizujmy poniższy przykład.

Zasada superpozycji pól – przykład.

Na rysunku przedstawiono układ trzech mas o wartościach 1kg, 2kg i 3kg, znajdujących się na jednej prostej w równych odległościach R = 2m. Znajdź wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego i wypadkowy potencjał pola w punkcie A, znajdującym się po środku mas 1 i 2.

Rozwiązanie:
Aby znaleźć wypadkowy potencjał należy, zgodnie z zasadą superpozycji, algebraicznie dodać potencjały pochodzące od wszystkich mas:

$V _{w} =V _{1} +V _{2} +V _{3}$

Odpowiednie potencjały są równe:

$V _{1} = \frac{-Gm _{1} }{ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{1} }{R}$

$V _{2} = \frac{-Gm _{2} }{ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{2} }{R}$

$V _{3} = \frac{-Gm _{3} }{R+ \frac{R}{2} } = \frac{-2Gm _{3} }{3R}$ , stąd:

$V _{w} = \frac{-2Gm _{1} }{R} - \frac{2Gm _{2} }{R} - \frac{2G m_{3} }{R} = \frac{-2G}{R} (m _{1}+m _{2 }+ \frac{m _{3} }{3} } )$

$V _{w} = \frac{-2 \cdot 6,67 \cdot 10 ^{-11} \frac{Nm ^{2} }{kg ^{2} } }{2m} (1kg+2kg+1kg)=-26,68 \cdot 10 ^{-11} \frac{J}{kg}$

Wyznaczenie wypadkowego natężenia pola jest nieco trudniejsze, gdyż jest ono wielkością wektorową (posiada wartość, kierunek i zwrot). Najprościej jest zaznaczyć kierunki wektorów natężenia na rysunku pamiętając, że zwrot wektora natężenia pola grawitacyjnego jest zawsze skierowany do środka ciała wytwarzającego to pole.

Z powyższego rysunku wynika, że wypadkowe natężenie pola jest równe:

$\gamma _{w} =- \gamma _{1} + \gamma _{2} + \gamma _{3}$

Odpowiednie natężenia są równe:

$\gamma _{1} = \frac{Gm _{1} }{( \frac{R}{2}) ^{2} } = \frac{4Gm _{1} }{R ^{2} }$

$\gamma _{2} = \frac{Gm _{2} }{( \frac{R}{2}) ^{2} } = \frac{4Gm _{2} }{R ^{2} }$

$\gamma _{3} = \frac{Gm _{} }{( \frac{3}{2}R) ^{2} } = \frac{4Gm _{3} }{9R ^{2} }$ , stąd:

$\gamma _{w} = \frac{-4Gm _{1} }{R ^{2} } + \frac{4Gm _{2} }{R ^{2} } + \frac{4Gm _{3} }{9R ^{2} } = \frac{4G}{R ^{2} } (-m _{1} +m _{2} + \frac{1}{9} m _{3} )$

$\gamma _{w} = \frac{4 \cdot 6,67 \cdot 10 ^{-11} \frac{Nm ^{2} }{kg ^{2} } }{(2m) ^{2} } (-1kg+2kg+ \frac{1}{9} \cdot 3kg) \approx 8,9 \cdot 10 ^{-11} \frac{N}{kg}$

Polecamy również:

Prawo powszechnego ciążenia

Prawo powszechnego ciążenia, zwane również prawem powszechnej grawitacji, zostało sformułowane przez Izaaka Newtona. Głosi ono, że siła wzajemnego przyciągania się ciał jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy ich środkami. Więcej »
Pole grawitacyjne - przykład pola centralnego

Oddziaływanie grawitacyjne jest przykładem oddziaływania poprzez pole, gdyż ciała działają na siebie pewnymi siłami nie stykając się przy tym ze sobą. Więcej »
Natężenie pola grawitacyjnego

Natężenie pola grawitacyjnego (γ) jest wektorową wielkością fizyczną zdefiniowaną jako stosunek siły grawitacji, działającej na próbną masę umieszczoną w polu grawitacyjnym, do wartości tej masy: Więcej »
Energia potencjalna w centralnym polu grawitacyjnym

Energia potencjalna układu ciał zależy od dwóch czynników tj. od mas oddziałujących grawitacyjnie obiektów i ich wzajemnego położenia. W polu centralnym energia potencjalna wyraża się następującym wzorem: Więcej »
Ciężar ciała

Ciężar ciała (Q) jest z definicji iloczynem jego masy (m) i przyspieszenia ziemskiego (g):Q = m•gPrzyspieszenie ziemskie jest wynikiem działania siły grawitacji (FG) i zgodnie z drugą zasadą dynamiki jest równe: Więcej »

Losowe zadania

Komentarze (0)

Choroby układu pokarmowego

wow

lika • 2021-12-05 17:24:11

George Byron

Pewien błąd się wkradł. "W 1912 r. Byron wygłosił w Izbie Lordów przemówienie" sta...

Ruda • 2021-12-05 16:35:07

Martin Widmark – biografia

Łatwo

bynio • 2021-12-05 15:42:03

Powstanie wielkopolskie (1848)

Jack • 2021-12-05 13:16:14

Do Fraszek (Fraszki nieprzepłacone...)

Shrek • 2021-12-04 18:50:37

Zasada superpozycji pól