Równia pochyła to powierzchnia płaska tworząca pewien kąt \( \alpha \) z poziomem. Na ciało znajdujące się na równi działają trzy siły:
1. Ciężar ciała Q, który związany jest z działaniem siły grawitacji i jest równy , gdzie m – masa ciała, g – przyspieszenie ziemskie. Ciężar ciała powoduje chęć zsuwania się ciała z równi oraz powoduje wywieranie przez ciało siły nacisku na równię.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych ciężar ciała można rozłożyć na składowe: siłę zsuwającą – FZ i siłę naciskającą – FN:
\(sin \alpha = \frac{F _{z} }{Q} \Rightarrow F _{z} =Qsin \alpha =mg sin \alpha \)
\(cos \alpha = \frac{F _{N} }{Q} \Rightarrow F _{N}=Qcos \alpha =mgcos \alpha \)
2. Siła tarcia, która z definicji jest równa \(T=f \cdot F _{N} \) (gdzie f – współczynnik tarcia statycznego lub kinetycznego, w zależności od tego czy ciało spoczywa czy się porusza). Ponieważ \(F _{N} =mgcos \alpha \) , to \(T=fmgcos \alpha \).
3. Siła reakcji podłoża – R, która zgodnie z III zasadą dynamiki jest reakcją równi na działanie siły naciskającej i jest równa co do wartości sile naciskającej.
Wszystkie opisane powyżej siły zostały przedstawione na rysunku:
Rys. Monika Pilch
Jeżeli ciało pozostaje w spoczynku oznacza to, że:
\(F _{z}=T \)
\(mg sin \alpha =fmgcos \alpha \)
Po podzieleniu ostatniego równania obustronnie przez mgcosα i zamianie stron otrzymamy:
\(f= \frac{mgsin \alpha }{mgcos \alpha } = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } \)
\(f=tg \alpha \)
Oznacza to, że współczynnik tarcia statycznego jest równy tangensowi kąta pod jakim nachylona jest równia pochyła.
Jeżeli siła zsuwająca jest większa od siły tarcia, wówczas ciało będzie zsuwać się z równi ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem o wartości:
\(a= \frac{F _{w} }{m} \),gdzie Fw – siła wypadkowa
Ponieważ siła naciskająca jest równoważona przez siłę reakcji podłoża, to siła wypadkowa jest różnicą sił zsuwającej i tarcia:
\(F _{w}=F _{z} -T\)
\(F _{w}=mgsin \alpha -fmgcos \alpha \)
Przyspieszenie ciała będzie więc równe:
\(a= \frac{mgsin \alpha -fmgcos \alpha }{m}=gsin \alpha -fgcos \alpha \)
\(a=g(sin \alpha -fcos \alpha )\)
Co ciekawe masa nie ma wpływu na wartość przyspieszenia ciała. Wpływ mają jedynie współczynnik tarcia i kąt nachylenia równi.
Na poniższym rysunku przedstawiono sytuację, w której ciału nadano prędkość skierowaną w górę równi. W tym przypadku siła tarcia działa w kierunku zgodnym do siły zsuwającej, a ruch ciała będzie jednostajnie opóźniony.
Ponieważ, w tym przypadku siła wypadkowa jest równa sumie sił zsuwającej i tarcia, to opóźnienie ciała w tym ruchu będzie równe:
\(a=g(sin \alpha +fcos \alpha )\)
Rozkład sił na równi pochyłej - przykład.
Jaką drogę przebędzie ciało zsuwające się z równi o kącie nachylenia 30° i współczynniku tarcia 0,1 w czasie 3 pierwszych sekund trwania ruchu?
Dane: Szukane:
\( \alpha \) = 30° s = ?
f = 0,1
t = 3s
Rozwiązanie:
Ruch ciała będzie jednostajnie przyspieszony, więc droga jaką ono przebędzie wyraża się wzorem:
\(s= \frac{at ^{2} }{2} \)
Ponieważ \(a=g(sin \alpha +fcos \alpha )\) , to droga jest równa:
\(s= \frac{g(sin \alpha -fcos \alpha )t ^{2} }{2} = \frac{10 \frac{m}{s ^{2} } (0,5-0,1 \cdot 0,87)(3s) ^{2} }{2} \approx 18,6m\)