Całkowita energia relatywistyczna ciała jest równa sumie jego energii spoczynkowej i kinetycznej. Stwierdzenie to jest prawdziwe w przypadku, gdy ciało nie posiada energii potencjalnej. Energie spoczynkowa i kinetyczna są odpowiednio równe:
\(E _{0}=m _{0}c ^{2} \)
\(E _{k} =mc ^{2} -m _{0}c ^{2} \)
Suma powyższych rodzajów energii daje wynik:
\(E =mc ^{2} \)
Zastępując masę relatywistyczną wyrażeniem \(m= \frac{m _{0} }{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2}} \) , otrzymamy:
\(E= \frac{m _{0}c ^{2} }{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2}} \)
gdzie: m0 – masa spoczynkowa, c – prędkość światła w próżni, v – prędkość ciała.
Na wykresie przedstawiono zależność energii całkowitej ciała w zależności od jego prędkości. Asymptotą wykresu jest prosta odpowiadająca wartości prędkości światła. W przypadku, gdy ciało spoczywa jego całkowita energia jest po prostu równa jego energii spoczynkowej.
Całkowita energia relatywistyczna – przykład.
Znajdź wartość całkowitej energii protony poruszającego się z prędkością 2•108m/s.
Dane: Szukane:
v = 2•108m/s E = ?
c = 3•108m/s
m0 = 1,67•10-27kg – masa spoczynkowa protonu
Rozwiązanie:
\(E= \frac{m _{0}c ^{2} }{ \sqrt{1- \frac{v ^{2} }{c ^{2}} \)
\(E= \frac{1,67 \cdot 10 ^{-27}kg \cdot (3 \cdot 10 ^{8} \frac{m}{s} ) ^{2} }{ \sqrt{1-\left( \frac{2 \cdot 10 ^{8} \frac{m}{s} }{3 \cdot 10 ^{8} \frac{m}{s} } \right) ^{2} } } \)
\( \approx 20 \cdot 10 ^{-11} J\)