Równania i nierówności trygonometryczne – przykłady, zadania

Równania trygonometryczne

 

Przykład:

 

\(\sin2x = 1\)

Do rozwiązania równania zastosujemy podstawienie \(t = 2x\). Wówczas rozwiązujemy równanie \(\sin t = 1\). W tym celu posługujemy się wykresem funkcji sinus.

Funkcja sinus przyjmuje wartość \(1\) dla argumentu \(\frac \pi 2\), a jako, że jest funkcją okresową, to także dla wszystkich jego okresowych krotności. Stąd zapisujemy, że \(t = \frac \pi 2 + 2 k \pi\), gdzie \(k \in \mathbb Z\). Powracając do pierwotnej zmiennej mamy \(2x = \frac \pi 2 + 2 k \pi\), stąd zaś ostatecznie \(x = \frac \pi 4 + k \pi\).

 

Przykład: 

\(\sin(2x - \frac\pi6)=0\)

Znów posłużymy się podstawieniem: \(t=2x - \frac\pi6\)

Równanie \(\sin t = 0\) ma rozwiązania postaci \(t= k \pi\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).

Zatem (powracając do zmiennej \(x\)) mamy 

\(2x - \frac\pi6 = 2 k \pi\)

\(2x = \frac\pi6 + 2 k \pi\)

\(x = \frac\pi{12} + k \pi\)

 

Przykład:

\(\operatorname{tg4x} = \sqrt 3\)

Zauważmy na początek, że \(4x \neq \frac \pi 2 + k \pi\) (dla \(k \in \mathbb Z\)), ponieważ w tych punktach funkcja tangens jest nieokreślona. Zatem \(x \neq \frac\pi8 + \frac{ k \pi}4\).

Podstawiamy \(t = 4x\) i rozwiązujemy równanie \(\operatorname{tg}t = \sqrt3\). Z wykresu odczytujemy (po uwzględnieniu okresowości funkcji tangens), że \(t = \frac \pi 3 + k \pi\).

Zatem \(x = \frac \pi {12} + \frac {k\pi} 4\).

 

Przykład:

\(2\sin^2 x + \sin x -1 = 0\)

Posłużymy się podstawieniem \(t = \sin x\). Wtedy równanie trygonometryczne zostaje sprowadzone do równania kwadratowego \(2 t^2 + t - 1 = 0\), którego rozwiązaniem jest para liczb \(t = \frac 1 2 \vee t = -1\).

 

Stąd \(\sin x = \frac 1 2 \vee \sin x = -1\), zatem \(x = \frac \pi 6 + 2k \pi \vee x = \frac 5 6 \pi + 2k \pi \vee x = \frac 3 2 \pi + 2k \pi\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).

 

Przykład:

\(2 \cos^2 x + \cos x - 3 = 0\)

Podstawiamy \(t = \cos x\) i rozwiązujemy równanie \(2t^2 + t - 3 = 0\) otrzymując \(t = - \frac 3 2 \vee t = 1\). Zatem \(\cos x = - \frac 3 2 \vee \cos x = 1\)

Po uwzględnieniu obu równości widzimy, że

\(x \in \emptyset \vee x = 2k \pi\), dla \(k \in \mathbb Z\).

 

Nierówności trygonometryczne

 

Przykład:

\(\cos x \ge \frac 1 2\)

Kreślimy wykres funkcji cosinus

Widzimy, że nierówność jest spełniona dla argumentów z zaznaczonego przedziału, zatem - po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus - możemy zapisać ostatecznie 

 

\(x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac \pi 3 + 2k \pi]\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).

 

Przykład:

\(\cos^2 x < \frac 1 4\)

Nierówność po rozpisaniu ma postać \(\cos x < \frac 1 2 \wedge \cos x > - \frac 1 2\).

Zatem po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus widać, że

\(x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac {2\pi} 3 + 2k \pi]\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).

Polecamy również:

Komentarze (1)
Wynik działania 2 + 5 =
Gabi
2015-10-19 11:02:24
Równanie sin t = 0 ma rozwiązania postaci t= k pi, gdzie k należy do Z, a nie jak autor pisze t=2kpi
Ostatnio komentowane
cycki lubie
• 2025-03-05 14:35:07
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53
pozdro mika
• 2025-02-24 20:08:01
dzięki
• 2025-02-24 09:56:27