Równania trygonometryczne
Przykład:
\(\sin2x = 1\)
Do rozwiązania równania zastosujemy podstawienie \(t = 2x\). Wówczas rozwiązujemy równanie \(\sin t = 1\). W tym celu posługujemy się wykresem funkcji sinus.
Funkcja sinus przyjmuje wartość \(1\) dla argumentu \(\frac \pi 2\), a jako, że jest funkcją okresową, to także dla wszystkich jego okresowych krotności. Stąd zapisujemy, że \(t = \frac \pi 2 + 2 k \pi\), gdzie \(k \in \mathbb Z\). Powracając do pierwotnej zmiennej mamy \(2x = \frac \pi 2 + 2 k \pi\), stąd zaś ostatecznie \(x = \frac \pi 4 + k \pi\).
Przykład:
\(\sin(2x - \frac\pi6)=0\)
Znów posłużymy się podstawieniem: \(t=2x - \frac\pi6\)
Równanie \(\sin t = 0\) ma rozwiązania postaci \(t= k \pi\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).
Zatem (powracając do zmiennej \(x\)) mamy
\(2x - \frac\pi6 = 2 k \pi\)
\(2x = \frac\pi6 + 2 k \pi\)
\(x = \frac\pi{12} + k \pi\)
Przykład:
\(\operatorname{tg4x} = \sqrt 3\)
Zauważmy na początek, że \(4x \neq \frac \pi 2 + k \pi\) (dla \(k \in \mathbb Z\)), ponieważ w tych punktach funkcja tangens jest nieokreślona. Zatem \(x \neq \frac\pi8 + \frac{ k \pi}4\).
Podstawiamy \(t = 4x\) i rozwiązujemy równanie \(\operatorname{tg}t = \sqrt3\). Z wykresu odczytujemy (po uwzględnieniu okresowości funkcji tangens), że \(t = \frac \pi 3 + k \pi\).
Zatem \(x = \frac \pi {12} + \frac {k\pi} 4\).
Przykład:
\(2\sin^2 x + \sin x -1 = 0\)
Posłużymy się podstawieniem \(t = \sin x\). Wtedy równanie trygonometryczne zostaje sprowadzone do równania kwadratowego \(2 t^2 + t - 1 = 0\), którego rozwiązaniem jest para liczb \(t = \frac 1 2 \vee t = -1\).
Stąd \(\sin x = \frac 1 2 \vee \sin x = -1\), zatem \(x = \frac \pi 6 + 2k \pi \vee x = \frac 5 6 \pi + 2k \pi \vee x = \frac 3 2 \pi + 2k \pi\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).
Przykład:
\(2 \cos^2 x + \cos x - 3 = 0\)
Podstawiamy \(t = \cos x\) i rozwiązujemy równanie \(2t^2 + t - 3 = 0\) otrzymując \(t = - \frac 3 2 \vee t = 1\). Zatem \(\cos x = - \frac 3 2 \vee \cos x = 1\).
Po uwzględnieniu obu równości widzimy, że
\(x \in \emptyset \vee x = 2k \pi\), dla \(k \in \mathbb Z\).
Nierówności trygonometryczne
Przykład:
\(\cos x \ge \frac 1 2\)
Kreślimy wykres funkcji cosinus
Widzimy, że nierówność jest spełniona dla argumentów z zaznaczonego przedziału, zatem - po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus - możemy zapisać ostatecznie
\(x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac \pi 3 + 2k \pi]\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).
Przykład:
\(\cos^2 x < \frac 1 4\)
Nierówność po rozpisaniu ma postać \(\cos x < \frac 1 2 \wedge \cos x > - \frac 1 2\).
Zatem po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus widać, że
\(x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac {2\pi} 3 + 2k \pi]\), gdzie \(k \in \mathbb Z\).