1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Równania i nierówności trygonometryczne

Równania i nierówności trygonometryczne – przykłady, zadania

Równania trygonometryczne

 

Przykład:

 

\sin2x = 1

Do rozwiązania równania zastosujemy podstawienie t = 2x. Wówczas rozwiązujemy równanie \sin t = 1. W tym celu posługujemy się wykresem funkcji sinus.

Funkcja sinus przyjmuje wartość 1 dla argumentu \frac \pi 2, a jako, że jest funkcją okresową, to także dla wszystkich jego okresowych krotności. Stąd zapisujemy, że t = \frac \pi 2 + 2 k \pi, gdzie k \in \mathbb Z. Powracając do pierwotnej zmiennej mamy 2x = \frac \pi 2 + 2 k \pi, stąd zaś ostatecznie x = \frac \pi 4 + k \pi.

 

Przykład: 

\sin(2x - \frac\pi6)=0

Znów posłużymy się podstawieniem: t=2x - \frac\pi6

Równanie \sin t = 0 ma rozwiązania postaci t= k \pi, gdzie k \in \mathbb Z.

Zatem (powracając do zmiennej x) mamy 

2x - \frac\pi6 = 2 k \pi

2x = \frac\pi6 + 2 k \pi

x = \frac\pi{12} + k \pi

 

Przykład:

\operatorname{tg4x} = \sqrt 3

Zauważmy na początek, że 4x \neq \frac \pi 2 + k \pi (dla k \in \mathbb Z), ponieważ w tych punktach funkcja tangens jest nieokreślona. Zatem x \neq \frac\pi8 + \frac{ k \pi}4.

Podstawiamy t = 4x i rozwiązujemy równanie \operatorname{tg}t = \sqrt3. Z wykresu odczytujemy (po uwzględnieniu okresowości funkcji tangens), że t = \frac \pi 3 + k \pi.

Zatem x = \frac \pi {12} + \frac {k\pi} 4.

 

Przykład:

2\sin^2 x + \sin x -1 = 0

Posłużymy się podstawieniem t = \sin x. Wtedy równanie trygonometryczne zostaje sprowadzone do równania kwadratowego 2 t^2 + t - 1 = 0, którego rozwiązaniem jest para liczb t = \frac 1 2 \vee t = -1.

 

Stąd \sin x = \frac 1 2 \vee \sin x = -1, zatem x = \frac \pi 6 + 2k \pi \vee x = \frac 5 6 \pi + 2k \pi \vee x = \frac 3 2 \pi + 2k \pi, gdzie k \in \mathbb Z.

 

Przykład:

2 \cos^2 x + \cos x - 3 = 0

Podstawiamy t = \cos x i rozwiązujemy równanie 2t^2 + t - 3 = 0 otrzymując t = - \frac 3 2 \vee t = 1. Zatem \cos x = - \frac 3 2 \vee \cos x = 1. 

Po uwzględnieniu obu równości widzimy, że

x \in \emptyset \vee x = 2k \pi, dla k \in \mathbb Z.

 

Nierówności trygonometryczne

 

Przykład:

\cos x \ge \frac 1 2

Kreślimy wykres funkcji cosinus

Widzimy, że nierówność jest spełniona dla argumentów z zaznaczonego przedziału, zatem - po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus - możemy zapisać ostatecznie 

 

x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac \pi 3 + 2k \pi], gdzie k \in \mathbb Z.

 

Przykład:

\cos^2 x < \frac 1 4

Nierówność po rozpisaniu ma postać \cos x < \frac 1 2 \wedge \cos x > - \frac 1 2.

Zatem po uwzględnieniu okresowości funkcji cosinus widać, że

x \in [- \frac \pi 3 + 2k \pi; \frac {2\pi} 3 + 2k \pi], gdzie k \in \mathbb Z.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (1)
Wynik działania 2 + 1 =
Gabi
2015-10-19 11:02:24
Równanie sin t = 0 ma rozwiązania postaci t= k pi, gdzie k należy do Z, a nie jak autor pisze t=2kpi
Ostatnio komentowane
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
Legiony Polskie we Włoszech (1797)
ok
• 2024-06-05 13:52:17