Praca w polu centralnym

W przypadku centralnego pola elektrycznego stosowanie wzoru na pracę w postaci \(W= \vec{F} \circ \vec{S} \)  jest dość kłopotliwe, ponieważ wymagałoby stosowania rachunku całkowego, gdyż wartość siły Coulomba w polu centralnym jest funkcją położenia – wartość działającej siły maleje wraz ze wzrostem odległości.Jednak pracę w tym polu można obliczyć znacznie prościej wykorzystując pojęcia energii potencjalnej, potencjału elektrycznego lub napięcia.

Na rysunku przedstawiono centralne pole elektryczne wytworzone przez punktowy ładunek q.

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną podczas przemieszczania ładunku próbnego (q₀) ruchem jednostajnym z punktu A do punktu B jest równa różnicy energii potencjalnej układu ładunków w tych punktach:

W = E_pB – E_pA.

Odpowiednie energie są równe:

\(E _{pB} =k \frac{qq _{0} }{r _{B} } \)
 

\(E _{pA} =k \frac{qq _{0} }{r _{A} } \), stąd pracę można wyrazić następująco:

\(W =k \frac{qq _{0} }{r _{B} } -k \frac{qq _{0} }{r _{A} }=kqq _{0}\left( \frac{1}{r _{B} } - \frac{1}{r _{A} } \right) \)
 
Zwróćmy uwagę, że znak wykonanej pracy zależy od znaków oddziałujących ze sobą ładunków elektrycznych.

Ponieważ potencjały elektryczne w punktach A i B są równe odpowiednio:

\(V _{A} = \frac{kq}{r _{A} } \)

\(V _{B} = \frac{kq}{r _{B} } \) , to wzór na pracę można również zapisać:

\(W=q _{0} V _{B} -q _{0} V _{A}=q _{0} (V _{B} -V _{A}) \)

Różnica potencjałów występująca w nawiasie ostatniego równania jest napięciem, więc:

\(W=q _{0} U\)

Praca w polu centralnym - przykład.

Znajdź wartość pracy jaką należy wykonać, aby przenieść elektron z punktu, znajdującego się w odległości 1m od punktowego ładunku o wartości 1C do nieskończoności. Załóż, że ładunki znajdują się próżni.

Dane:                                                                       Szukane:
e = -1,6•10^-19C – ładunek elektronu                        W = ?
r_A = 1m
r_B = ∞
q = 1C
k0 = 9•10⁹ Nm²/C² – wielkość tablicowa

Rozwiązanie:

\(W=k _{0}qe\left( \frac{1}{r _{B}}- \frac{1}{r _{A} } \right) \)

\(W=9 \cdot 10 ^{9} \frac{Nm ^{2} }{C ^{2} } \cdot 1C(-1,6 \cdot 10 ^{-19} C) \left( \frac{1}{ \infty } - \frac{1}{1m}\right)=14,4 \cdot 10 ^{-10} J\)
 
Wyrażenie \( \frac{1}{ \infty } \) , występujące w ostatnim równaniu jest równe zero.