Podobieństwo figur - definicja, skala podobieństwa

Figury podobne to takie, które mają taki sam kształt - mogą różnić się wielkością oraz położeniem na płaszczyźnie ale muszą mieć ten sam kształt.

Jaki wniosek płynie z przedstawionej powyżej definicji figur podobnych? Otóż podobieństwo sprawdzamy porównując kąty dwóch figur oraz ich boki. Dwie figury podobne będą mieć dokładnie takie same miary odpowiadających sobie kątów, zaś ich boki pozostawać w jednakowym stosunku.

W ten sposób możemy określić jak rozpoznać figury, które są nie podobne:

a) spojrzeć na kąty tych figur i określić, czy są one jednakowe czy nie (może się zdarzyć, że figury mają takie same miary kątów ale nie w tej samej kolejności - wówczas nie będą to figury podobne);

b) spojrzeć na boki tych figur i sprawdzić ich stosunki - odpowiadające sobie boki powinny pozostawać w tym samym stosunku.

Przykład:

Figurami podobnymi będą dowolne dwa kwadraty, dowolne dwa okręgi, dowolne dwa koła oraz dowolne dwa trójkąty równoboczne.

Różna kolejność kątów

Same kąty nie wystarczą do określenia podobieństwa figur - może się zdarzyć, że dwie fiugry mają dokładnie takie same kąty, ale występujące w innej kolejności - wówczas nie będą figurami podobnymi.

Przykład:

Podobieństwo figur

Oba czworokąty oprócz kąta prostego mają także jeden kąt miary  \beta oraz po dwa kąty o mierze  \alpha, jednak kolejność występowania tych kątów jest różna w przypadku każdej z figur, stąd nie są to figury podobne.

Inny stosunek boków

Figury nie będą podobne, jeśli ich boki nie będą w jednakowych stosunkach.

Przykład:

Podobieństwo figur

Czy powyższe figury są podobne? Nie, ponieważ stosunki ich boków nie są równe - dolna figura ma dwa boki równej długości co górna, dwa pozostałe natomiast są dłuższe niż w figurze wyżej.

Skala podobieństwa

Jeśli figury są podobne możemy określić dla nich skalę podobieństwa, a zatem stosunek długości boków jednej figury do boków drugiej.

Przykład:

Podobieństwo figur

Te figury są podobne - jedynymi występującymi tutaj kątami są kąty 90 oraz 270 stopni, zaś odpowiadające sobie boki pozostają w jednakowym stosunku (boki figury po lewej stronie są dwa razy większe).

Możemy myśleć o tym w następujący sposób: jedną z figur skopiowano a następnie przeskalowano. Jeśli pierwszą figurą była ta z lewej strony, wówczas po skopiowaniu zmniejszono ją dwukrotnie. Jeśli natomiast pierwsza była figura po prawej - po skopiowaniu została zwiększona dwukrotnie, aby otrzymać figurę lewą.

To przeskalowanie wyrażamy skalą podobieństwa, oznaczaną k. Jest to właśnie stosunek boków jednej figury do drugiej. W powyższym przykładzie skala podobieństwa wynosi 2 lub 0,5 - w zależności od tego, w którą stronę patrzymy.

Boki figury lewej w stosunku do boków figury prawej są dwa razy większe, zatem skala podobieństwa figury lewej do prawej wynosi 2. Skala podobieństwa figury prawej do lewej - 0,5.

Stosunek obwodów figur również jest równy ich skali podobieństwa, tzn. dla dwóch figur podobnych F _{1} i F _{2} w skali k mamy:

 \frac{Obw _{F _{1} } }{Obw _{F _{2} }} =k.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa, tj. dla dwóch figur podobnych F _{1} i F _{2} w skali k mamy:

 \frac{P _{F _{1} } }{P _{F _{2} }} =k^2.

Podobieństwo kwadratów - przykład:

Kwadraty zawsze są podobne - ich skalą podobieństwa jest stosunek ich boków. Wyobraźmy sobie dwa kwadraty - mniejszy o boku równym 1 i większy - o boku równym 3. Wówczas mamy:

- skalę podobieństwa mniejszego kwadratu do większego równą 1:3 (lub równoważnie skalę większego do mniejszego równą 3:1);

- obwód pierwszego kwadratu równy 4, obwód większego - równy 12, stosunek ich obwodów równy odpowiednio 4:12, a więc po skróceniu 1:3 - co można wyrazić ułamkiem  \frac{1}{3} ;

- pole mniejszego kwadratu równe 1, pole większego równe 9, a więc ich stosunek to 1:9, co w zapisie ułamkowym ma postać  \frac{1}{9} , co w istocie jest równe kwadratowi skali podobieństwa.

Polecamy również:

  • Kwadrat

    Kwadrat jest podstawowym czworokąt, będącym szczególnym przypadkiem rombu i prostokąta jednocześnie - wszystkie jego boki mają taką samą długość, a każdy kąt wewnętrzny jest kątem prostym  Więcej »

  • Romb

    Romb jest czworokątem o wszystkich bokach równej długości. Więcej »

  • Równoległobok

    Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu. Więcej »

  • Trapez

    Trapez jest czworokątem, którego przynajmniej jedna para boków jest równoległa. Więcej »

  • Deltoid

    Deltoid jest czworokątem symetrycznym wzdłuż jednej z przekątnych. Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 3 =
Ostatnio komentowane
Błąd w roku urodzenia. Jesienin urodził się w 1895 roku.
• 2024-04-14 15:08:13
lub9ie życię m0i dr0dz3
• 2024-04-14 11:30:33
Co za wstyd pomyśleć, że ja nie istnieje.
• 2024-04-12 15:30:23
supier
• 2024-04-11 18:27:13
bardzo pomocne
• 2024-04-09 17:22:24