Zderzenie centralne ma miejsce wówczas, gdy wszystkie zderzające się ciała poruszają się przed i po zderzeniu wzdłuż tej samej prostej. Jest to więc przypadek jednowymiarowy, w którym wektory prędkości wszystkich zderzających się mas leżą na prostej łączącej ich środki.
Na powyższym rysunku przedstawiono przykład zderzenia sprężystego centralnego. Zakładając, że masy i prędkości przed zderzeniem (v1 i v2) obydwu ciał są znane można korzystając z zasad zachowania pędu i energii obliczyć ich prędkości końcowe (u1 i u2).
\(m _{1} v _{1}+m _{2} v _{2} =m _{1} u _{1} +m _{2}u _{2} \) - zasada zachowania pędu
\( \frac{m _{1} v _{1 } ^{2} }2 }{} + \frac{m _{2}v _{2} ^{2} }{2} = \frac{m _{1}u _{1} ^{2}
}{2}+ \frac{m _{2}u _{2} ^{2} }{2}
\) - zasada zachowania energii (szerzej opisana w innym rozdziale)
Rozwiązując powyższy układ równań względem u1 i u2 otrzymamy:
\(u _{1} = \frac{m _{1} -m _{2} }{m _{1}+m _{2} }v _{1} + \frac{2m _{1} }{m _{1}+m _{2}
} v _{2} \)
\(u _{2} = \frac{2m _{1} }{m _{1}+m _{2} } v _{1} + \frac{m _{2}-m _{1} }{m _{1}+m _{2} } v _{2} \)
Zderzenie centralne - przykład 1.
Zderzające się centralnie sprężyście ciała mają jednakowe masy. Jedna z mas początkowo spoczywa, a druga porusza się z prędkością 10m/s. Jakie będą ich prędkości po zderzeniu?
Dane: Szukane:
m1 =m2 =m u1 = ?
v1 = 10m/s u2 = ?
v2 = 0 m/s
Rozwiązanie:
Stosując równanie na prędkości końcowe dla równych mas otrzymamy:
\(u _{1} = \frac{m-m}{m+m} v _{1}+ \frac{2m}{m+}v _{2} =v _{2}=0 \)
\(u _{2} = \frac{2m}{m+m} v _{1} + \frac{m-m}{m+} v _{2} =v _{1} =10 \frac{m}{s} \)
Sytuację z przykładu przedstawiono na poniższym rysunku.
Zderzenie centralne - przykład 2.
Dwie kule o jednakowych masach poruszają się naprzeciw siebie z prędkościami o wartościach 10m/s i 2m/s. Znajdź ich prędkości po centralnym zderzeniu sprężystym.
Dane: Szukane:
m1 =m2 =m u1 = ?
v1 = 10m/s u2 = ?
v2 = 2 m/s
Rozwiązanie:
Ponieważ kule mają jednakowe masy, to wyniki tego zadania są takie same jak w przykładzie poprzednim tj.:
\(u _{1}=v _{2}=2 \frac{m}{s} \)
\(u _{2}=v _{1}=10 \frac{m}{s} \)
Sytuacja z zadania została przedstawiona poniżej.
