Rzut ukośny

Rzut ukośny to ruch ciała, któremu nadano prędkość (v₀) skierowaną pod pewnym kątem ( $\alpha$ ) do poziomu. Jeżeli założymy, że ruch ten odbywa się bez żadnych oporów (np. ciało porusza się w próżni), to jest on przykładem ruchu złożonego z trzech rodzajów ruchów tj.:

1.   Ruchu jednostajnego, który odbywa się w kierunku poziomym z prędkością v_0x.
2.   Ruchu jednostajnie opóźnionego w kierunku pionowym, gdy ciało się wznosi. W tym przypadku mamy do czynienia z rzutem pionowym z prędkością początkową v_0y i przyspieszeniem ziemskim (g).
3.   Ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym, gdy ciało opada. W tym przypadku mamy do czynienia ze spadkiem swobodnym z wysokości h = max.

Aby opisać ruch ciała w przypadku rzutu ukośnego należy przeanalizować oddzielnie ruchy w kierunku poziomym i pionowym. W tym celu rozłóżmy wektor prędkości v0 na składowe v_0x oraz v_0y. Z funkcji trygonometrycznych wynika, że:

$sin \alpha = \frac{v _{0y} }{0}$ oraz $cos \alpha = \frac{v _{0x} }{v _{0} }$ więc:

$v _{0y}=v _{0} sin \alpha$ oraz $v _{0x}=v _{0}cos \alpha$

Zasięg rzutu (z) jest równy drodze przebytej ruchem jednostajnym z prędkością v_0x:

$z=v _{0x} \cdot t=v _{0} cos \alpha \cdot t$ gdzie t – całkowity czas ruchu.

Aby znaleźć całkowity czas ruchu ciała należy przeanalizować ruch w kierunku pionowym. Całkowity czas ruchu jest sumą czasu wznoszenia się ciała (t_w) na wysokość h oraz czasu spadku z tej wysokości (t_s):

$t=t _{w}+t _{s}$

Aby wyznaczyć czas wznoszenia wystarczy przekształcić wzór na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym. Gdy ciało znajdzie się na maksymalnej wysokości jego pionowa prędkość jest równa 0, więc:

$0=v _{0y}-gt _{w}$

$t _{w}= \frac{v _{0y} }{g}= \frac{v _{0}sin \alpha }{g}$

Czas spadku wyznaczymy analizując spadek swobodny w wysokości h. Prędkość końcowa ciała w tym ruchu będzie równa v_0y – wynika to m.in. z zasady zachowania energii mechanicznej, stąd:

$v _{0y}=g \cdot t _{s}$

$t _{s}= \frac{v _{0y} }{g}= \frac{v _{0}sin \alpha }{g}=t _{w}$

Ponieważ czasy spadku i wznoszenia są równe, to całkowity czas ruchu ciała można wyrazić następująco:

$t=2t _{w} =2t _{s}$

$t= \frac{2v _{0}sin \alpha }{g}$

Zasięg rzutu jest więc równy:

$z=v _{0}cos \alpha \cdot t=v _{0}cos \alpha \frac{2v _{0}sin \alpha }{g}$

$z= \frac{v _{0} ^{2}2sin \alpha \cdot cos \alpha }{g}$

$2sin \alpha \cdot cos \alpha =sin2 \alpha$ , więc:

$z= \frac{v _{0} ^{2} sin2 \alpha }{g}$

Z ostatniego równania wynika, że zasięg rzutu będzie największy (przy ustalonej prędkości początkowej), gdy $sin2 \alpha$ osiągnie swoją maksymalną wartość czyli 1.

$sin2 \alpha =1$

$2 \alpha =90 ^{o}$

$\alpha =45 ^{o}$

Zasięg rzutu będzie największy, gdy ciało zostanie wyrzucone pod kątem 45°.

Aby wyznaczyć maksymalną wysokość na którą doleci ciało wystarczy zastosować wzór na drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym lub ten sam wzór dla ruchu jednostajnie przyspieszonego. Drugi sposób jest mniej skomplikowany, więc:

$h= \frac{gt ^{2} }{2} = \frac{g( \frac{v _{0}sin \alpha }{g}) ^{2} }{2} = \frac{v _{0} ^{2}sin ^{2} \alpha }{2g}$

Rzut ukośny - przykład.

Golfista uderzył w nieruchomą początkowo piłkę nadając jest prędkość 108km/h, skierowaną pod kątem 30° do poziomu. Oblicz jak daleko doleci ta piłka i na jaką maksymalną wysokość się ona wzniesie? Załóż, że ruch odbywa się bez oporów.

Dane:                                   Szukane:
v=180 km/h=30m/s              z = ?
α = 30°                               h = ?
g = 10m/s²

Rozwiązanie:

$z= \frac{v _{0} ^{2}sin2 \alpha }{g} = \frac{(30 \frac{m}{s} ) ^{2}sin60 ^{o} } {10 \frac{m}{s ^{2} } } = } } \approx 78m$

$h= \frac{v _{0} ^{2}sin ^{2} \alpha }{2g} = \frac{(30 \frac{m}{s}) ^{2}sin ^{2} 30 ^{o} }{2 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2} } } \approx 11,25m$

Polecamy również:

Rzut poziomy

Rzut poziomy to ruch ciała znajdującego się na początku na pewnej wysokości (h), któremu nadano prędkość w kierunku poziomym (v0). Więcej »

Komentarze (0)

Rzut ukośny

Rzut ukośny - przykład.

Polecamy również:

Zobacz również

Rzut poziomy

Losowe zadania

Zapisz równania reakcji dla przemian przedstawionych na schemacie stosując wzory grupowe

Oblicz ile zanieczyszconego węgliku wapnia potrzeba do otrzymania etynu

Co jest bardziej prawdopodobne?

Osiem błogosławieństw

Podaj typ zdania współrzędnie złożonego