Rzut ukośny

Rzut ukośny to ruch ciała, któremu nadano prędkość (v₀) skierowaną pod pewnym kątem ( $\alpha$ ) do poziomu. Jeżeli założymy, że ruch ten odbywa się bez żadnych oporów (np. ciało porusza się w próżni), to jest on przykładem ruchu złożonego z trzech rodzajów ruchów tj.:

1.   Ruchu jednostajnego, który odbywa się w kierunku poziomym z prędkością v_0x.
2.   Ruchu jednostajnie opóźnionego w kierunku pionowym, gdy ciało się wznosi. W tym przypadku mamy do czynienia z rzutem pionowym z prędkością początkową v_0y i przyspieszeniem ziemskim (g).
3.   Ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym, gdy ciało opada. W tym przypadku mamy do czynienia ze spadkiem swobodnym z wysokości h = max.

Aby opisać ruch ciała w przypadku rzutu ukośnego należy przeanalizować oddzielnie ruchy w kierunku poziomym i pionowym. W tym celu rozłóżmy wektor prędkości v0 na składowe v_0x oraz v_0y. Z funkcji trygonometrycznych wynika, że:

$sin \alpha = \frac{v _{0y} }{0}$ oraz $cos \alpha = \frac{v _{0x} }{v _{0} }$ więc:

$v _{0y}=v _{0} sin \alpha$ oraz $v _{0x}=v _{0}cos \alpha$

Zasięg rzutu (z) jest równy drodze przebytej ruchem jednostajnym z prędkością v_0x:

$z=v _{0x} \cdot t=v _{0} cos \alpha \cdot t$ gdzie t – całkowity czas ruchu.

Aby znaleźć całkowity czas ruchu ciała należy przeanalizować ruch w kierunku pionowym. Całkowity czas ruchu jest sumą czasu wznoszenia się ciała (t_w) na wysokość h oraz czasu spadku z tej wysokości (t_s):

$t=t _{w}+t _{s}$

Aby wyznaczyć czas wznoszenia wystarczy przekształcić wzór na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym. Gdy ciało znajdzie się na maksymalnej wysokości jego pionowa prędkość jest równa 0, więc:

$0=v _{0y}-gt _{w}$

$t _{w}= \frac{v _{0y} }{g}= \frac{v _{0}sin \alpha }{g}$

Czas spadku wyznaczymy analizując spadek swobodny w wysokości h. Prędkość końcowa ciała w tym ruchu będzie równa v_0y – wynika to m.in. z zasady zachowania energii mechanicznej, stąd:

$v _{0y}=g \cdot t _{s}$

$t _{s}= \frac{v _{0y} }{g}= \frac{v _{0}sin \alpha }{g}=t _{w}$

Ponieważ czasy spadku i wznoszenia są równe, to całkowity czas ruchu ciała można wyrazić następująco:

$t=2t _{w} =2t _{s}$

$t= \frac{2v _{0}sin \alpha }{g}$

Zasięg rzutu jest więc równy:

$z=v _{0}cos \alpha \cdot t=v _{0}cos \alpha \frac{2v _{0}sin \alpha }{g}$

$z= \frac{v _{0} ^{2}2sin \alpha \cdot cos \alpha }{g}$

$2sin \alpha \cdot cos \alpha =sin2 \alpha$ , więc:

$z= \frac{v _{0} ^{2} sin2 \alpha }{g}$

Z ostatniego równania wynika, że zasięg rzutu będzie największy (przy ustalonej prędkości początkowej), gdy $sin2 \alpha$ osiągnie swoją maksymalną wartość czyli 1.

$sin2 \alpha =1$

$2 \alpha =90 ^{o}$

$\alpha =45 ^{o}$

Zasięg rzutu będzie największy, gdy ciało zostanie wyrzucone pod kątem 45°.

Aby wyznaczyć maksymalną wysokość na którą doleci ciało wystarczy zastosować wzór na drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym lub ten sam wzór dla ruchu jednostajnie przyspieszonego. Drugi sposób jest mniej skomplikowany, więc:

$h= \frac{gt ^{2} }{2} = \frac{g( \frac{v _{0}sin \alpha }{g}) ^{2} }{2} = \frac{v _{0} ^{2}sin ^{2} \alpha }{2g}$

Rzut ukośny - przykład.

Golfista uderzył w nieruchomą początkowo piłkę nadając jest prędkość 108km/h, skierowaną pod kątem 30° do poziomu. Oblicz jak daleko doleci ta piłka i na jaką maksymalną wysokość się ona wzniesie? Załóż, że ruch odbywa się bez oporów.

Dane:                                   Szukane:
v=180 km/h=30m/s              z = ?
α = 30°                               h = ?
g = 10m/s²

Rozwiązanie:

$z= \frac{v _{0} ^{2}sin2 \alpha }{g} = \frac{(30 \frac{m}{s} ) ^{2}sin60 ^{o} } {10 \frac{m}{s ^{2} } } = } } \approx 78m$

$h= \frac{v _{0} ^{2}sin ^{2} \alpha }{2g} = \frac{(30 \frac{m}{s}) ^{2}sin ^{2} 30 ^{o} }{2 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2} } } \approx 11,25m$

Polecamy również:

Rzut poziomy

Rzut poziomy to ruch ciała znajdującego się na początku na pewnej wysokości (h), któremu nadano prędkość w kierunku poziomym (v0). Więcej »

Komentarze (0)

Rzut ukośny

Rzut ukośny - przykład.

Polecamy również:

Zobacz również

Rzut poziomy

Losowe zadania

Określ prawdziwość stwierdzeń dotyczących związków aminowych

Budowa worka skórno-mięśniowego pierścienic

Zaproszenie

Wędrowne kaznodziejstwo w średniowiecznej Europie

Oblicz