Rzut ukośny

Rzut ukośny to ruch ciała, któremu nadano prędkość (v₀) skierowaną pod pewnym kątem (\( \alpha \)) do poziomu. Jeżeli założymy, że ruch ten odbywa się bez żadnych oporów (np. ciało porusza się w próżni), to jest on przykładem ruchu złożonego z trzech rodzajów ruchów tj.:

1.    Ruchu jednostajnego, który odbywa się w kierunku poziomym z prędkością v_0x.
2.    Ruchu jednostajnie opóźnionego w kierunku pionowym, gdy ciało się wznosi. W tym przypadku mamy do czynienia z rzutem pionowym z prędkością początkową v_0y i przyspieszeniem ziemskim (g).
3.    Ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym, gdy ciało opada. W tym przypadku mamy do czynienia ze spadkiem swobodnym z wysokości h = max.

 
Aby opisać ruch ciała w przypadku rzutu ukośnego należy przeanalizować oddzielnie ruchy w kierunku poziomym i pionowym. W tym celu rozłóżmy wektor prędkości v0 na składowe  v_0x  oraz v_0y. Z funkcji trygonometrycznych wynika, że:

\(sin \alpha = \frac{v _{0y} }{0} \)   oraz   \(cos \alpha = \frac{v _{0x} }{v _{0} } \) więc:

\(v _{0y}=v _{0} sin \alpha \)   oraz  \(v _{0x}=v _{0}cos \alpha \)

Zasięg rzutu (z) jest równy drodze przebytej ruchem jednostajnym z prędkością v_0x:

\(z=v _{0x} \cdot t=v _{0} cos \alpha \cdot t\)   gdzie t – całkowity czas ruchu.

Aby znaleźć całkowity czas ruchu ciała należy przeanalizować ruch w kierunku pionowym. Całkowity czas ruchu jest sumą czasu wznoszenia się ciała (t_w) na wysokość h oraz czasu spadku z tej wysokości (t_s):

\(t=t _{w}+t _{s} \)
 
Aby wyznaczyć czas wznoszenia wystarczy przekształcić wzór na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym. Gdy ciało znajdzie się na maksymalnej wysokości jego pionowa prędkość jest równa 0, więc:

\(0=v _{0y}-gt _{w} \)

\(t _{w}= \frac{v _{0y} }{g}= \frac{v _{0}sin \alpha }{g} \)
 
Czas spadku wyznaczymy analizując spadek swobodny w wysokości h. Prędkość końcowa ciała w tym ruchu będzie równa v_0y – wynika to m.in. z zasady zachowania energii mechanicznej, stąd:

\(v _{0y}=g \cdot t _{s} \)

\(t _{s}= \frac{v _{0y} }{g}= \frac{v _{0}sin \alpha }{g}=t _{w} \)
 
Ponieważ czasy spadku i wznoszenia są równe, to całkowity czas ruchu ciała można wyrazić następująco:

\(t=2t _{w} =2t _{s} \)

\(t= \frac{2v _{0}sin \alpha }{g} \)
 
Zasięg rzutu jest więc równy:

\(z=v _{0}cos \alpha \cdot t=v _{0}cos \alpha \frac{2v _{0}sin \alpha }{g} \)

\(z= \frac{v _{0} ^{2}2sin \alpha \cdot cos \alpha }{g} \)

\(2sin \alpha \cdot cos \alpha =sin2 \alpha \) , więc:

\(z= \frac{v _{0} ^{2} sin2 \alpha }{g} \)
 
Z ostatniego równania wynika, że zasięg rzutu będzie największy (przy ustalonej prędkości początkowej), gdy \(sin2 \alpha \) osiągnie swoją maksymalną wartość czyli 1.

\(sin2 \alpha =1\)

\(2 \alpha =90 ^{o} \)

\( \alpha =45 ^{o} \)
 
Zasięg rzutu będzie największy, gdy ciało zostanie wyrzucone pod kątem 45°.

Aby wyznaczyć maksymalną wysokość na którą doleci ciało wystarczy zastosować wzór na drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym lub ten sam wzór dla ruchu jednostajnie przyspieszonego. Drugi sposób jest mniej skomplikowany, więc:

\(h= \frac{gt ^{2} }{2} = \frac{g( \frac{v _{0}sin \alpha }{g}) ^{2} }{2} = \frac{v _{0} ^{2}sin ^{2} \alpha }{2g} \)

Rzut ukośny - przykład.

Golfista uderzył w nieruchomą początkowo piłkę nadając jest prędkość 108km/h, skierowaną pod kątem 30° do poziomu. Oblicz jak daleko doleci ta piłka i na jaką maksymalną wysokość się ona wzniesie? Załóż, że ruch odbywa się bez oporów.

Dane:                                    Szukane:
v=180 km/h=30m/s              z = ?
α = 30°                                h = ?
g = 10m/s²

Rozwiązanie:

\(z= \frac{v _{0} ^{2}sin2 \alpha }{g} = \frac{(30 \frac{m}{s} ) ^{2}sin60 ^{o} } {10 \frac{m}{s ^{2} } } = } } \approx 78m\)

\(h= \frac{v _{0} ^{2}sin ^{2} \alpha }{2g} = \frac{(30 \frac{m}{s}) ^{2}sin ^{2} 30 ^{o} }{2 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2} } } \approx 11,25m \)