Pierwsza prędkość kosmiczna

W przypadku rzutu poziomego, jego zasięg zależy od nadanej początkowo prędkości. Im prędkość początkowa jest większa, tym zasięg również jest większy.

Na poniższym rysunku przedstawiono zasięgi rzutów dla trzech różnych prędkości początkowych spełniających warunek  v₁₂₃.

W przypadku obiektów mających kształt zbliżony do kuli, takich jak np. planety, księżyce czy gwiazdy, rysunek mógłby wyglądać następująco:

Rys. Monika Pilch

Widać, że dla prędkości v₃ ciało nigdy nie spadnie, gdyż promień toru jego ruchu pokryje się z promieniem kuli, którą obiega. Prędkość v₃ nazywana jest pierwszą prędkością kosmiczną (v_I) i można ją zdefiniować w następujący sposób:

„Pierwsza prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką należy nadać ciału, aby mogło ono orbitować tuż nad powierzchnią ciała niebieskiego np. Ziemi, Księżyca, a więc jest to prędkość, przy której obiekt staje się sztucznym satelitą danego ciała niebieskiego.”

Aby wyprowadź wzór na pierwszą prędkość kosmiczną założymy, że satelita porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu równym promieniowi ciała obieganego.

Rys. Monika Pilch

W ruchu po okręgu występuje siła dośrodkowa (F_d), a w przypadku ruchu satelity jej rolę pełni  siła grawitacji (F_G), więc:

F_d = F_G

\( \frac{mv _{I} ^{2} }{R} =G \frac{Mm}{R ^{2} } \)

Przekształcając ostatnie równanie względem v otrzymamy:

\(v _{I}= \sqrt{ \frac{GM}{R} } \)

gdzie: G – stała grawitacji, M – masa ciała obieganego, R – promień orbity.

Widać, że wartość pierwszej prędkości kosmicznej zależy tylko własności ciała obieganego tj. od jego masy i promienia.

W przypadku satelitów krążących wokół Ziemi, promienie ich orbit są znacznie większe od promienia naszej planety. Dzieje się tak dlatego, że satelity muszą być wynoszone ponad warstwę atmosfery, która hamowałaby ruch satelitów i mogłaby doprowadzić do ich spalenia.

Wzór na prędkość satelity krążącego na wysokości h nad powierzchnią wygląda następująco:

 

\(v = \sqrt{ \frac{GM}{R+h} } \)

Z ostatniego równania widać, że im wyżej znajduje się satelita, tym wartość jego prędkości jest mniejsza.

I prędkość kosmiczna – przykład.

Znajdź wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Ziemi.

Dane:                                        Szukane:
M_Z = 6•10²⁴kg                                v_I =?
R_Z = 6,8•10⁶m
G = 6,67•10^-11Nm²/kg²

Wszystkie dane są wielkościami tablicowymi.

Rozwiązanie:

\(v _{I}= \sqrt{ \frac{GM _{Z} }{R _{Z} } } \)

\(v _{I} = \sqrt{ \frac{6,67 \cdot 10 ^{-11} \frac{Nm ^{2} }{kg ^{2} } \cdot 6 \cdot 10 ^{24} kg }{6,8 \cdot 10 ^{6} m} } \approx 7,9 \frac{km}{s} \)