Druga prędkość kosmiczna

W przypadku rzutu pionowego w górę maksymalna wysokość (h) na jaką doleci ciało zależy od wartości prędkości początkowej. Im prędkość jest większa, tym ciało doleci wyżej.

Na poniższym rysunku przedstawiono maksymalne wysokości dla trzech różnych wartości prędkości, spełniających warunek v₁₂₃.

W przypadku drugiej prędkości kosmicznej (zwanej również prędkością ucieczki) wyrzucone ciało pokonuje siłę grawitacji np. Ziemi, jego orbita staje się paraboliczna i oddala się ono do nieskończoności (przy założeniu, że  nie działają na nie inne ciała niebieskie).

Rys. Monika Pilch

Aby wyprowadzić wzór na drugą prędkość kosmiczną, należy posłużyć się zasadą zachowania energii mechanicznej. Energia całkowita satelity znajdującego się na powierzchni np. Ziemi (E_C0), musi być równa całkowitej energii tego satelity w nieskończoności (E_CK).

E_C0 = E_CK

Energie potencjalna i kinetyczna satelity znajdującego się nieskończenie daleko od obiektu, z którego został on wystrzelony są równe zero, więc zasada zachowania energii w tym przypadku ma postać:

\(-G \frac{Mm}{R} + \frac{mv _{II } ^{2} }{2} =0\)

Przekształcając ostatnie równanie względem v_II, otrzymamy:

\(v _{II} = \sqrt{ \frac{2GM}{R} } \)

gdzie: G – stała grawitacji, M – masa ciała, z którego satelita „ucieka”, R – promień ciała, które satelita opuszcza.

Związek pomiędzy pierwszą i drugą prędkością kosmiczną jest więc następujący:

\(v _{II}= \sqrt{2} \cdot v _{I} \)

II prędkość kosmiczna – przykład.

Znajdź wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Marsa wiedząc, że wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla tej planety wynosi v_I  = 3,57km/s

Dane:                                                  Szukane:
v_I  = 3,57km/s                                          v_II =?

Rozwiązanie:

\(v _{II}= \sqrt{2} \cdot v _{I} \)

\(v _{II} = \sqrt{2} \cdot 3,57 \frac{km}{s} =5,03 \frac{km}{s} \)