Na rysunkach przedstawiono ton podstawowy i trzy tony wyższe harmoniczne (alikwoty), które powstają w napiętej strunie.
Ponieważ końce struny są na stałe przymocowane, to nie mogą one drgać. Na obydwu końcach struny muszą więc powstać węzły fali stojącej, czyli miejsca gdzie wychylenie jest równe zero.
Jak wynika z rysunku fale, które mogą powstać w strunie muszą spełniać zależność taką, że w długości struny L musi się mieścić całkowita wielokrotność połówek długości fali λ:
\(L=n \frac{ \lambda }{2} \) , gdzie: n = 1, 2, 3, ….
Ponieważ \( \lambda = \frac{v}{f} \) , to \(L=n \frac{v}{2f} \) .
Po niezbyt skomplikowanych przekształceniach otrzymamy wzór na częstotliwość fal jakie mogą powstać w napiętej strunie:
\(f=n \frac{v}{2L} \)
gdzie: v – prędkość rozchodzenia się fali w strunie.
Za częstotliwość dźwięku słyszanego przez człowieka odpowiada ton podstawowy, czyli fala o najmniejszej częstotliwości (największej długość), więc wzór na częstotliwość tonu podstawowego musi mieć postać:
\(f= \frac{v}{2L} \)
Z ostatniego równania wynika, że częstotliwość dźwięku wydawanego przez strunę zależy od dwóch czynników tj. od prędkości fali w strunie i od jej długości. Dłuższa struna wydaje dźwięki o mniejszych częstotliwościach, a więc niższe.
Prędkość rozchodzenia się fali w strunie zależy od jej gęstości i właściwości sprężystych, które to z kolei zależą m.in. od siły z jaką dana struna jest naciągnięta. W związku z powyższym strunowe instrumenty muzyczne wyposażone są w pokrętła, służące do zmiany siły naciągu strun, które umożliwiają jego nastrojenie.
Fale w napiętej strunie - przykład.
Ile razy należy skrócić strunę, aby uzyskać dźwięk o dwie oktawy wyższy?
Rozwiązanie:
Dźwięk wyższy o oktawę, to dźwięk którego częstotliwość jest dwukrotnie większa. Ponieważ w przykładzie dźwięki różnią się wysokością o dwie oktawy, to częstotliwość dźwięku wyższego jest czterokrotnie większa od częstotliwości dźwięku niższego, stad:
f2 = 4f1
Ponieważ \(f= \frac{v}{2L} \) , to \(L= \frac{v}{2f} \) , więc:
\(L _{1} = \frac{v}{2f _{1} } \)
\(L _{2} = \frac{v}{2f _{2} } \)
\( \frac{L _{1} }{L _{2} } = \frac{v}{2f _{1} } \cdot \frac{2f _{2} }{v} = \frac{f _{2} }{f _{1} } = \frac{4f _{1} }{f _{1} } =4\)
Strunę należy skrócić cztery razy.