Bilans cieplny jest zestawieniem ilości ciepła pobranego i oddanego przez poszczególne elementy zamkniętego układu, które nie są ze sobą w stanie równowagi termodynamicznej. Stosowanie bilansu cieplnego możliwe jest tylko w przypadku układów, które są idealnie odizolowane od otoczenia, gdyż w tym przypadku nie występuje zmiana całkowitej energii układu na skutek przepływu ciepła (od lub do otoczenia) lub wykonywanie pracy.
Zgodnie z zasadą zachowania energii całkowite ciepło pobrane (Q1) przez ciało o niższej temperaturze musi być równe ilości ciepła oddanego (Q2) przez ciało, którego początkowa temperatura była wyższa:
Q1 = Q2
Bilans cieplny znajduje zastosowanie w kalorymetrii, do wyznaczania właściwości cieplnych różnych substancji np. ich ciepła topnienia, czy ciepła właściwego.
Bilans cieplny – przykład 1.
Zmieszano ze sobą dwa litry wody o temperaturze 10°C z jednym litrem wody o temperaturze 90°C. Jaka będzie końcowa temperatura tej mieszaniny?
Dane: Szukane:
V1 = 2dm3 → m1 = 2kg T = ?
T1 = 10°C
V2 = 1dm3 → m2 = 1kg
T2 = 90°C
Rozwiązanie:
Ciepło będzie pobierać woda o niższej temperaturze. Będzie ono równe:
\(Q _{1} =c _{w} m _{1} (T-T _{1} )\)
Ciepło oddane można wyrazić:
\(Q _{2} =c _{w} m _{2} (T _{2} -T )\) - kolejność temperatur w nawiasie została tak dobrana, aby wartość ciepła była dodatnia.
Ponieważ \(Q _{1}=Q _{2} \), to:
\(c _{w} m _{1} (T-T _{1} )=c _{w} m _{2} (T _{2} -T )\)
Po niezbyt skomplikowanych obliczeniach otrzymamy:
\(T= \frac{m _{2}T _{2}+m _{1}T _{1} }{m _{1}+m _{2} } = \frac{1kg \cdot 90 ^{ \circ } C+2kg \cdot 10 ^{ \circ } C}{2kg+1kg} \approx 36,7 ^{ \circ } C\)
Bilans cieplny – przykład 2.
Ile lodu o temperaturze -5°C można stopić przy pomocy 3 kilogramów wody o temperaturze 50°C?
Dane: Szukane:
T1 = -5°C = 268K m1 = ?
m2 = 3kg
T2 = 50°C = 323K
T0 = 0°C = 273K – temperatura topnienia lodu
cw = 4200 J/kg•K – ciepło właściwe wody
cl = 21000 J/kg•K – ciepło właściwe lodu
ct = 340000 J/kg – ciepło topnienia lodu
Rozwiązanie:
Ciepło będzie w tym przypadku pobierał lód, gdyż ma on niższą temperaturę. Energia pobrana zostanie wykorzystana na doprowadzenia lodu do temperatury topnienia, a następnie do jego stopienia, więc:
\(Q _{1} =c _{l} m _{1} (T _{0}-T _{1} )+c _{t} \cdot m _{1} \)
Ciepło oddane przez wodę jest równe:
\(Q _{2} =c _{w} m _{2} (T _{2}-T _{0} )\)
Ponieważ \(Q _{1}=Q _{2} \) , to:
\(c _{l}m _{1} (T _{0} -T _{1})+c _{t} m _{1} =c _{w}m _{2} (T _{2} -T _{0})\)
Po przekształceniach otrzymamy:
\(m _{1}= \frac{c _{w}m _{2} (T _{2} -T _{0})}{c _{l} (T _{0}-T _{1})+c _{t} } = \frac{4200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 3kg \cdot 50K }{21000 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 5K+340000 \frac{J}{kg} } \)
\( \approx 1,4kg\)