Wyobraźmy sobie klasę liczącą \(23\) uczniów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dwie osoby z tej klasy mają urodziny tego samego dnia?
Rok liczy \(365\) dni (pomijamy lata przestępne), zatem wydaje się, że szansa na to, by dwie osoby urodziły się tego samego dnia roku jest niewielka, jednak odpowiedź na to pytanie stoi w sprzeczności z intuicją - prawdopodobieństwo to jest bowiem większe niż \(\frac12\)!
Jak to możliwe? Aby to policzyć skorzystajmy z faktu, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do \(A\) jest równe \(1 - P(A)\).
Zastanówmy się jaka jest szansa na to, by żadne dwie osoby w klasie nie miały urodzin tego samego dnia?
Dzień urodzin dla pierwszej osoby możemy wybrać na \(365\) sposobów, dla drugiej na \(364\) sposoby, itd. Dla ostatniej - \(23\)-ciej osoby pozostają już tylko \(343\) możliwe dni do wyboru. W sumie zatem mamy \(365 \cdot 364 \cdot ... \cdot 343\) możliwości wyboru \(23\) dni tak, by żadne dwa się nie powtarzały. To bardzo duża liczba i nie ma nawet sensu jej wymnarzać.
Ile jest natomiast wszystkich możliwości wybrania \(23\) dni w roku? Oczywiście \(365^{23}\), bo każdy dzień możemy wybrać na \(365\) sposobów.
Ostatecznie zatem, jeśli przez \(A\) oznaczymy zdarzenie polegające na tym, że żadne dwie osoby z grupy \(23\)-ch nie mają urodzin tego samego dnia, natomiast przez \(A'\) zdarzenie do niego przeciwne, a więc polegające na tym, że w tej klasie istnieją dwie osoby o tym samym dniu urodzin, to będziemy mieć \(P(A') = \frac { 365 \cdot 364 \cdot ... \cdot 343}{365 \cdot 365 \cdot ... \cdot 365} \approx 0,493\) oraz \(P(A) = 1 - P(A') \approx 0,507 > 0,5\).
Zatem w istocie prawdopodobieństwo tego, że w klasie są dwie osoby urodzone tego samego dnia jest większe niż \(\frac12\).
Obliczenia są trudne, ze względu na to, że mamy do czynienia z dużymi liczbami, jednak samo rozumowanie jest elementarne.
Moc problemu urodzin polega na tym, że ukazuje (on na bardzo prostym przykładzie) jak zawodne bywają nasze zmysły w szacowaniu prawdopodobieństwa.