Siła wyporu i prawo Archimedesa

Prawo Archimedesa głosi, że na każde ciało zanurzone w płynie (cieczy lub gazie) działa siła wyporu, której wartość jest równa ciężarowi wypartego płynu. Siła wyporu jest zawsze skierowana pionowo do góry i jest wynikiem ciśnienia hydrostatycznego wywieranego na ciało zanurzone w płynie.

Rys. Monika Pilch

Na rysunku przedstawiono sześcian o boku a, zanurzony w płynie o znanej gęstości ρ. Ciśnienie hydrostatyczne wywierane na podstawę sześcianu jest równe:

\(p _{1} = \rho gh _{1} \)

Zatem siła parcia wywierana na tą ścianę musi być równa:

\(F _{1} =p _{1 } \cdot S= \rho gh _{1} a ^{2} \)

Postępując analogicznie w przypadku górnej ściany sześcianu, otrzymamy siłę parcia równą:

\(F _{2} =p _{2} S= \rho gh _{2} a ^{2} \)

Ponieważ siły parcia wywierane na pole powierzchni bocznej sześcianu się znoszą, to wypadkowa siła związana z różnicą ciśnień hydrostatycznych jest równa:

\(F _{W} =F _{1}-F _{2} = \rho gh _{1 } a ^{2}- \rho gh _{2 } a ^{2}= \rho ga ^{2} (h _{1}-h _{2}) \)

Ponieważ h₁ – h₂ = a, to siłę wyporu można zapisać w postaci:
\(F _{W} = \rho ga ^{3} = \rho gV\)  , gdzie V – objętość sześcianu, a więc i objętość wypartego przez niego płynu.

Iloczyn gęstości i objętości jest masą, więc siła wyporu musi być równa ciężarowi wypartej cieczy, bowiem:

\(F _{W} = mg \Rightarrow F _{W} =Q\)

Siła wyporu i prawo Archimedesa – przykład zadania

Kula o promieniu 0,5 m pływa zanurzona do połowy w wodzie, której gęstość wynosi 10³kg/m³.

Dane:                                        Szukane:
R = 0,5m                                    m = ?
ρ = 10³ kg/m³

Rozwiązanie:
Sytuację z zadania przedstawia rysunek:

Ponieważ kula jest w stanie równowagi, to zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki, działające na nią siły się równoważą. Ciężar kuli (Q) jest równoważony przez siłę wyporu (F_w).

Q = F_W

Siły te są odpowiednio równe:

\(Q=mg\)

\(F _{W} = \rho \cdot g \frac{V}{2} \)
 
Objętość kuli wyraża się wzorem:

\(V= \frac{4}{3} \pi R ^{3} \)
 
Łącząc ze sobą wszystkie powyższe równania otrzymamy:

\(mg= \rho g \frac{4 \pi R ^{3} }{3 \cdot 2} \) , zatem:

\(m= \frac{2 \pi \rho R ^{3} }{3} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 10 ^{3} \frac{kg}{m ^{3} }(0,5m) ^{3} }{3} \)

\(m \approx 0,26 \cdot 10 ^{3} kg=260kg\)