Nierówności stopnia trzeciego i wyższych stopni - strona 2

krotności,

(x-3)^{4}x = 3 - pierwiastek parzystej krotności,

itd.

 

Wykres zaczynamy rysować od prawej strony, i w zależności od tego, czy znak przy najwyższej potędze zmiennej x był dodatni czy ujemny, zaczynamy rysować albo od góry, albo od dołu.

- parametr przy najwyższej potędze dodatni (rysujemy zaczynając od góry),

 - parametr przy najwyższej potędze ujemny (rysujemy zaczynając od dołu),

- pierwiastek parzystej krotności (wykres „odbija się” od osi).

 

 

Ostatnim etapem rozwiązywania nierówności tego typu jest - podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych - zaznaczenie odpowiednich przedziałów (a więc tych części wykresu, które znajdowały się powyżej osi liczbowej - o ile znakiem nierówności był znak > lub  \ge  - bądź tych poniżej osi - w przeciwnym wypadku) oraz wypisanie rozwiązań.

 

Przykład:

Rozwiążmy nierówność x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 >0. Po dokonaniu rozkładu na czynniki nierówność możemy zapisać jako (x+3)(x-1)^{2}(x-2)>0, istnieją zatem trzy pierwiastki:

x_{1} = -3 - pojedynczej krotoności,

x_{2} = 1 - podwójnej (a zatem parzystej) krotności

x_{3} = 2 - pojedynczej krotności.

Szkic wykresu z zaznaczonymi odpowiednimi obszarami wyglądać będzie następująco:

Zatem ostateczna odpowiedź będzie brzmieć:

x \in (- \infty ;-3) \cup (2; \infty ).

Gdyby natomiast nierówność była nieostra (tj. x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6  \ge 0) wówczas odpowiedź brzmiałaby:x \in (- \infty ;-3]  \cup \left \{  -1 \right \} \cup [2; \infty ) - ponieważ w rozwiązaniach uwzględnione zostają także punkty styczności z wykresem, a zatem te wartości zmiennej x, dla których nierówność się zeruje.

 

Zadanie:

Rozwiązać nierówności:

a) x^{4} - x^{3} -2x - 4  \le  0,

b) x^{3} + 6x^{2} + 6x - 5 >0,

c) x^{3} - 2x^{2} - 4x  \ge 0.

 

Odpowiedzi:

a) x \in [-1;2],

b) x \in (-5;  \infty ),

c) x \in [1- \sqrt{5} ;0]  \cup  [1 +  \sqrt{5} ; \infty ).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 5 =
Ostatnio komentowane
dsasadsda
• 2022-05-16 16:49:01
...
• 2022-05-16 16:13:57
fajne
• 2022-05-16 16:04:04
A do zoo zł do do xxxl
• 2022-05-16 15:49:19
Za długie
• 2022-05-16 15:04:11