Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch jednostajnie przyspieszony to ruch, w którym ciało w jednakowych odstępach czasu zwiększa swoją prędkość o jednakowe wartości, a więc wartość przyspieszenia ciała jest stała i większa od 0.

Z powyższego wykresu wynika, że pole powierzchni figury ograniczonej wykresem i osią czasu, wyraża się wzorem P=a \cdot t .Ponieważ   a= \frac{v}{t}   to  v=a \cdot t, więc pole powierzchni prostokąta  jest prędkością jaką uzyska ciało po czasie t(P=v)  .

Zależność prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest liniową funkcją czasu. Stąd jeżeli założymy, że ciało nie ma prędkości początkowej (zaczyna ruch od 0 m/s), wykres zależności prędkości od czasu będzie wyglądał następująco:

Podobnie jak w ruchu jednostajnym pole powierzchni figury ograniczonej wykresem v(t) i osią czasu jest drogą przebytą w danym ruchu. W naszym przypadku będzie to pole powierzchni trójkąta prostokątnego, które obliczymy ze wzoru:

s= \frac{v \cdot t}{2}

W ruchu jednostajnie zmiennym prędkość jest liniową funkcją czasu v=a \cdot t stąd:

s= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}

Z powyższego równania widać, że zależność drogi od czasu jest funkcją kwadratową, stąd wykresem zależności s(t) musi być parabola:

W przypadku gdy prędkość początkowa ciała jest różna od zera, wykres v(t) wygląda nieco inaczej:

Jest to wykres funkcji liniowej:

v=v _{0} +a \cdot t

gdzie przyspieszenie (a) jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Im większa jest wartość przyspieszenia tym kąt jaki tworzy wykres funkcji z poziomem jest większy.
Pole powierzchni figury ograniczonej wykresem v(t) i osią czasu jest sumą pól powierzchni trójkąta prostokątnego i prostokąta, stąd:

s _{1} = \frac{v \cdot t}{2} oraz s _{2}=v _{0 }   \cdot t

Więc całkowita droga jaką przebędzie ciało w tym ruchu będzie równa:

s=s _{1} +s _{2}

s= \frac{v  \cdot t} 2 } +v _{0} \cdot t

Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest funkcją czasu (v=a \cdot t) , to wzór na drogę można zapisać w innej postaci tj.:

s= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}+v _{0}   \cdot t

Ruch jednostajnie przyspieszony - przykład 1.

Na wykresie przedstawiono zależność prędkości ciała od czasu dla pewnego ruchu. Wykres podzielono na 3 obszary.

Oblicz:
a)    przyspieszenie ciała w każdym z obszarów,
b)    drogę przebytą przez ciało w każdym z obszarów,
c)    średnią szybkość ciała podczas całego ruchu.

Rozwiązanie:
a)    Ponieważ przyspieszenie ciała to stosunek przyrostu prędkości do czasu: a= \frac{\Delta v}{\Delta t} , a przyrost prędkości to różnica pomiędzy jej wartością końcową (vk) i początkową (v0), więc:

  \Delta v=v _{k} -v _{0} , podobnie można napisać dla przyrostu czasu:  \Delta t=t _{k}-t _{0}

Obszar I :  a _{I}= \frac{10 \frac{m}{s}-0 \frac{m}{s}  }{10s-0s} =1 \frac{m}{s ^{2} }


Obszar II :   a _{II}=  \frac{10 \frac{m}{s}-10 \frac{m}{s}  }{15s-0s} =0 \frac{m}{s ^{2} } (jest to ruch jednostajny)


Obszar III :  a _{III}= \frac{30 \frac{m}{s}-10 \frac{m}{s}  }{20s-15s}  =4 \frac{m}{s}

b)    Sposób I

Aby obliczyć drogę przebytą w każdym z obszarów wystarczy obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej wykresem zależności v(t), a osią czasu, stąd:


  s _{I} = \frac{10 \frac{m}{s}  \cdot 10s}{2} =50m- droga przebyta w obszarze I (pole powierzchni trójkąta)

  s _{II}=10 \frac{m}{s} \cdot 5s=50m  - droga przebyta w obszarze II (pole powierzchni prostokąta)


s _{III} =10 \frac{m}{s} \cdot 5s+ \frac{20 \frac{m }{s} \cdot 5s }{2}=100m   - droga przebyta w obszarze III(pole powierzchni prostokąta plus pole powierzchni trójkąta prostokątnego, można również obliczyć pole powierzchni trapezu prostokątnego).

Sposób II

Należy zastosować wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

s= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}+v _{0} \cdot t
 
Obszar I : Nie mamy prędkości początkowej (v0 = 0), stąd:

 s_{I}= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}  = \frac{1 \frac{m}{s ^{2} } \cdot (10s) ^{2}  }{2} =50m

Obszar II: Jest to ruch jednostajny więc nie mamy przyspieszenia (a = 0), stąd:

s _{II}= v_{0}   \cdot t=10 \frac{m}{s} \cdot 5s=50m

Obszar III:
 s _{III}= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}+v _{0}  \cdot t= \frac{4 \frac{m}{s ^{2} } \cdot (5s) ^{2}  }{2}  +10 \frac{m}{s}  \cdot 5s=100m


Widać, że wyniki uzyskane obydwoma sposobami są jednakowe.

c)    Szybkość średnia ciała to stosunek całkowitej drogi (sc) do całkowitego czasu trwania ruchu (tc):

    v _{sr} = \frac{s _{c} }{t _{c} }   całkowita droga jest sumą dróg przebytych w obszarach I, II, III, więc:

v _{sr}= \frac{s _{I}+s _{II} +s _{III}  }{t _{c} }  = \frac{50m+50m+100m}{20s}=10 \frac{m}{s}

Polecamy również:

  • Spadek swobodny

    Spadek swobodny jest przykładem ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego, w którym prędkość początkowa ciała jest równa 0. Więcej »

  • Rzut pionowy w dół

    Rzut pionowy w dół tym różni się od spadku swobodnego, że na początku ruchu została nadana ciału prędkość początkowa (v0) skierowana pionowo w dół. Więcej »

Komentarze (1)
Wynik działania 4 + 5 =
Kacper0s07
2021-02-14 16:02:12
Trochę mało informacji :p
Ostatnio komentowane
By
• 2022-09-28 17:03:33
git
• 2022-09-27 14:46:23
Ok
• 2022-09-27 12:59:27
Bardzo łatwe
• 2022-09-27 10:53:50
Fajowe
• 2022-09-26 18:31:03