Ruch jednostajnie przyspieszony to ruch, w którym ciało w jednakowych odstępach czasu zwiększa swoją prędkość o jednakowe wartości, a więc wartość przyspieszenia ciała jest stała i większa od 0.
Z powyższego wykresu wynika, że pole powierzchni figury ograniczonej wykresem i osią czasu, wyraża się wzorem \(P=a \cdot t\) .Ponieważ \(a= \frac{v}{t} \) to \(v=a \cdot t\), więc pole powierzchni prostokąta jest prędkością jaką uzyska ciało po czasie \(t(P=v)\) .
Zależność prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest liniową funkcją czasu. Stąd jeżeli założymy, że ciało nie ma prędkości początkowej (zaczyna ruch od 0 m/s), wykres zależności prędkości od czasu będzie wyglądał następująco:
Podobnie jak w ruchu jednostajnym pole powierzchni figury ograniczonej wykresem v(t) i osią czasu jest drogą przebytą w danym ruchu. W naszym przypadku będzie to pole powierzchni trójkąta prostokątnego, które obliczymy ze wzoru:
\(s= \frac{v \cdot t}{2} \)
W ruchu jednostajnie zmiennym prędkość jest liniową funkcją czasu \(v=a \cdot t\) stąd:
\(s= \frac{a \cdot t ^{2} }{2} \)
Z powyższego równania widać, że zależność drogi od czasu jest funkcją kwadratową, stąd wykresem zależności s(t) musi być parabola:
W przypadku gdy prędkość początkowa ciała jest różna od zera, wykres v(t) wygląda nieco inaczej:
Jest to wykres funkcji liniowej:
\(v=v _{0} +a \cdot t\)
gdzie przyspieszenie (a) jest współczynnikiem kierunkowym prostej. Im większa jest wartość przyspieszenia tym kąt jaki tworzy wykres funkcji z poziomem jest większy.
Pole powierzchni figury ograniczonej wykresem v(t) i osią czasu jest sumą pól powierzchni trójkąta prostokątnego i prostokąta, stąd:
\(s _{1} = \frac{v \cdot t}{2} \) oraz \(s _{2}=v _{0 } \cdot t\)
Więc całkowita droga jaką przebędzie ciało w tym ruchu będzie równa:
\(s=s _{1} +s _{2} \)
\(s= \frac{v \cdot t} 2 } +v _{0} \cdot t \)
Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest funkcją czasu \((v=a \cdot t)\) , to wzór na drogę można zapisać w innej postaci tj.:
\(s= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}+v _{0} \cdot t\)
Ruch jednostajnie przyspieszony - przykład 1.
Na wykresie przedstawiono zależność prędkości ciała od czasu dla pewnego ruchu. Wykres podzielono na 3 obszary.
Oblicz:
a) przyspieszenie ciała w każdym z obszarów,
b) drogę przebytą przez ciało w każdym z obszarów,
c) średnią szybkość ciała podczas całego ruchu.
Rozwiązanie:
a) Ponieważ przyspieszenie ciała to stosunek przyrostu prędkości do czasu: \(a= \frac{\Delta v}{\Delta t} \), a przyrost prędkości to różnica pomiędzy jej wartością końcową (vk) i początkową (v0), więc:
\(\Delta v=v _{k} -v _{0} \), podobnie można napisać dla przyrostu czasu: \(\Delta t=t _{k}-t _{0} \)
Obszar I : \(a _{I}= \frac{10 \frac{m}{s}-0 \frac{m}{s} }{10s-0s} =1 \frac{m}{s ^{2} } \)
Obszar II : \(a _{II}= \frac{10 \frac{m}{s}-10 \frac{m}{s} }{15s-0s} =0 \frac{m}{s ^{2} } \) (jest to ruch jednostajny)
Obszar III : \(a _{III}= \frac{30 \frac{m}{s}-10 \frac{m}{s} }{20s-15s} =4 \frac{m}{s} \)
b) Sposób I
Aby obliczyć drogę przebytą w każdym z obszarów wystarczy obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej wykresem zależności v(t), a osią czasu, stąd:
\(s _{I} = \frac{10 \frac{m}{s} \cdot 10s}{2} =50m\)- droga przebyta w obszarze I (pole powierzchni trójkąta)
\(s _{II}=10 \frac{m}{s} \cdot 5s=50m \)- droga przebyta w obszarze II (pole powierzchni prostokąta)
\(s _{III} =10 \frac{m}{s} \cdot 5s+ \frac{20 \frac{m }{s} \cdot 5s }{2}=100m \) - droga przebyta w obszarze III(pole powierzchni prostokąta plus pole powierzchni trójkąta prostokątnego, można również obliczyć pole powierzchni trapezu prostokątnego).
Sposób II
Należy zastosować wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
\(s= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}+v _{0} \cdot t \)
Obszar I : Nie mamy prędkości początkowej (v0 = 0), stąd:
\( s_{I}= \frac{a \cdot t ^{2} }{2} = \frac{1 \frac{m}{s ^{2} } \cdot (10s) ^{2} }{2} =50m\)
Obszar II: Jest to ruch jednostajny więc nie mamy przyspieszenia (a = 0), stąd:
\(s _{II}= v_{0} \cdot t=10 \frac{m}{s} \cdot 5s=50m \)
Obszar III:
\(s _{III}= \frac{a \cdot t ^{2} }{2}+v _{0} \cdot t= \frac{4 \frac{m}{s ^{2} } \cdot (5s) ^{2} }{2} +10 \frac{m}{s} \cdot 5s=100m \)
Widać, że wyniki uzyskane obydwoma sposobami są jednakowe.
c) Szybkość średnia ciała to stosunek całkowitej drogi (sc) do całkowitego czasu trwania ruchu (tc):
\(v _{sr} = \frac{s _{c} }{t _{c} } \) całkowita droga jest sumą dróg przebytych w obszarach I, II, III, więc:
\(v _{sr}= \frac{s _{I}+s _{II} +s _{III} }{t _{c} } = \frac{50m+50m+100m}{20s}=10 \frac{m}{s} \)