Dowód twierdzenia o stycznej i siecznej

Niech dany będzie okrąg o środku $O$ . Z punktu $S$ prowadzimy styczną do tego okręgu w punkcie $A$ oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach $B \text{ i } C$ . Udowodnij następujące zależności

1. Kąt środkowy oparty na łuku $AB$ ma miarę dwukrotnie większą od miary kąta $\angle BAS$ .

2. Trójkąty $\Delta BAS \text{ i } \Delta CAS$ są podobne

3. $|SA|^2 \ =\ |SB|\ \cdot\ |SC|$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

03.07.2020 14:05

1. Oznaczmy miary kątów następująco

$\angle BOA \ =\ \alpha$

$\angle BAS\ =\ \beta$

Musimy udowodnić następującą równość $\alpha\ =\ 2\beta$ .

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny, zatem przy podstawie ma takie same kąty, tzn. $\angle BAO \ =\ \angle ABO\ =\ \gamma$ . Ponieważ punkt $A$ jest punktem styczności, to kąt $\angle SAO$ jest kątem prostym. Wynika stąd, że

$\beta \ +\ \gamma \ = \ 90^{\circ}$

$\gamma\ =\ 90^{\circ} \ - \ \beta$ .

Natomiast sumując kąty w trójkącie $AOB$ otrzymujemy równanie

$\alpha\ +\ 2\gamma\ =\ 180^{\circ}$ .

Podstawiając do niego wcześniej wyznaczony kąt $\gamma$ , dostajemy

$\alpha \ +\ 2(90^{\circ}-\beta) \ =\ 180^{\circ}$

$\alpha\ =\ \beta$ ,

co należało pokazać.

2. Aby udowodnić podobieństwo podanych trójkątów, wykorzystamy zasadę kąt-kąt-kąt, czyli pokazemy, że miary kątów rozważanych trójkątów są równe.

a) Na początku, zaznaczmy oczywistą równość kątów

$\angle ASB = \angle ASC = \delta$

b) Zgodnie z równością udowodnioną w punkcie 1. kąt $\angle BAS = \beta$ jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na łuku $AB$ . Ponieważ kąt $\angle ACS$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy $\angle AOB$ , to również ma miarę dwa razy mniejszą. Zatem

$\angle BAS\ = \angle ACS \ = \beta$

c) Kolejne kąty w omawianych trójkątach mają te same miary

$\angle SBA \ = \angle SAC\ =\ 180^{\circ} - \delta - \beta$

W takim razie, zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt, trójkąty $\Delta BAS \text{ i } \Delta CAS$ są podobne.

3. Aby udowodnić tezę twierdzenia o stycznej i siecznej, skorzystamy z własności trójkątów podobnych, rozważanych w punkcie 2. Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcjonalność odpowiednich odcinków.

$\frac{|SA|}{|SB|}\ =\ \frac{|SC|}{|SA|}$

Stąd od razu otrzymujemy tezę

$|SA|^2\ =\ |SB| \ \cdot\ |SC|$ .

Dzięki! 1

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Dowód twierdzenia o stycznej i siecznej

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: