Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Dowód twierdzenia o stycznej i siecznej

Niech dany będzie okrąg o środku O. Z punktu S prowadzimy styczną do tego okręgu w punkcie A oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach B \text{ i } C. Udowodnij następujące zależności

1. Kąt środkowy oparty na łuku AB ma miarę dwukrotnie większą od miary kąta \angle BAS.

2. Trójkąty \Delta BAS \text{ i } \Delta CAS są podobne

3. |SA|^2 \ =\ |SB|\ \cdot\ |SC|.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
03.07.2020 14:05

1. Oznaczmy miary kątów następująco

\angle BOA \ =\ \alpha

\angle BAS\ =\ \beta

Musimy udowodnić następującą równość \alpha\ =\ 2\beta.

Trójkąt AOB jest równoramienny, zatem przy podstawie ma takie same kąty, tzn. \angle BAO \ =\ \angle ABO\ =\ \gamma. Ponieważ punkt A jest punktem styczności, to kąt \angle SAO jest kątem prostym. Wynika stąd, że

\beta \ +\ \gamma \ = \ 90^{\circ}

\gamma\ =\ 90^{\circ} \ - \ \beta.

Natomiast sumując kąty w trójkącie AOB otrzymujemy równanie 

\alpha\ +\ 2\gamma\ =\ 180^{\circ}.

Podstawiając do niego wcześniej wyznaczony kąt \gamma, dostajemy

\alpha \ +\ 2(90^{\circ}-\beta) \ =\ 180^{\circ}

\alpha\ =\ \beta,

co należało pokazać.


2. Aby udowodnić podobieństwo podanych trójkątów, wykorzystamy zasadę kąt-kąt-kąt, czyli pokazemy, że miary kątów rozważanych trójkątów są równe.

a) Na początku, zaznaczmy oczywistą równość kątów

\angle ASB = \angle ASC = \delta

b) Zgodnie z równością udowodnioną w punkcie 1. kąt \angle BAS = \beta jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na łuku AB. Ponieważ kąt \angle ACS jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy \angle AOB, to również ma miarę dwa razy mniejszą. Zatem

\angle BAS\ = \angle ACS \ = \beta

 

c) Kolejne kąty w omawianych trójkątach mają te same miary

\angle SBA \ = \angle SAC\ =\ 180^{\circ} - \delta - \beta

Kąty w trójkątach podobnych

W takim razie, zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt, trójkąty \Delta BAS \text{ i } \Delta CAS są podobne.


3.  Aby udowodnić tezę twierdzenia o stycznej i siecznej, skorzystamy z własności trójkątów podobnych, rozważanych w punkcie 2. Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcjonalność odpowiednich odcinków.

\frac{|SA|}{|SB|}\ =\ \frac{|SC|}{|SA|}

Stąd od razu otrzymujemy tezę

|SA|^2\ =\ |SB| \ \cdot\ |SC|.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 4 =
Wszystkie odpowiedzi (0)