Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

1. Oblicz sumę trzynastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że siódmy wyraz jest równy 8.

2. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne ani przez 3 ani przez 4.

3. Rozwiąż równanie $x\ +\ (3+2x)\ +\ (6+3x)+\ (9+4x)\ +\ \ldots\ +\ (21+8x)\ =\ 156$ .

4. Sprawdź, czy ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym, jeśli $S_n=n^2+2n$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

01.04.2020 10:46

1. Zapisujemy wzór ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$ .

$a_n=a_1+r(n-1)$

Podstawiamy $n=7$ , aby wyznaczyć wzór na siódmy wyraz, którego wartość znamy.

$a_7=a_1+r(7-1)=a_1+6r$

$8=a_1+6r$

Wyznaczamy wzór na sumę trzynastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{13}=a_1\ +\ a_2\ +\ \ldots\ +\ a_{13}\ =\ a_1 \ + \ (a_1+r)\ +\ \ldots \ +\ (a_1+12r)\ =$

$= 13a_1\ +\ r(1+2+\ \ldots\ +12)\ =$

$=13a_1\ +\ r\frac{1+12}{2}\cdot 12 \ =\ 13a_1 + 13\cdot6r$

Wyciągamy powtarzający się czynnik przed nawias, a następnie podstawiamy za $a_1+6r$ wartość $8$ .

$S_{13}=13(a_1+6r)\ =\ 13\cdot 8\ =\ 104$

Odp. Suma trzynastu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 104.

2. Obliczymy sumę liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 3, przez 4 oraz równocześnie przez 3 i 4.Natępnie od sumy wszystkich liczb dwucyfrowych odejmiemy te które są podzielne przez 3, przez 4 oraz dodamy te, które dzielą się równocześnie przez 3 i 4 (ponieważ te liczby odjęliśmy dwukrotnie raz przy podzielnych przez 3 a raz przez 4). Otrzymamy w ten sposób sumę, będącą rozwiązaniem zadania.

Zapiszmy odpowiednie ciągi liczb

podzielne przez 3: $3,\hspace{3pt} 6,\hspace{3pt} 9,\hspace{3pt} 12,\hspace{3pt} 15,\hspace{3pt} 18,\hspace{3pt}\ldots \hspace{3pt},96,\hspace{3pt}99,\hspace{3pt}102,\hspace{3pt}\ldots$ WZÓR: $a_n=3+3(n-1)$

podzielne przez 4: $4,\hspace{3pt} 8,\hspace{3pt} 12,\hspace{3pt} 16,\hspace{3pt} 20,\hspace{3pt}\ldots \hspace{3pt},92,\hspace{3pt}96,\hspace{3pt}100,\hspace{3pt}\ldots$ WZÓR: $b_n=4+4(n-1)$

podzielne przez 3 i 4: $12,\hspace{3pt} 24,\hspace{3pt} 36,\hspace{3pt}\ldots \hspace{3pt},84,\hspace{3pt}96,\hspace{3pt}108,\hspace{3pt}\ldots$ WZÓR: $c_n=12+12(n-1)$

Obliczymy odpowiednie sumy.

Liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 jest $\lfloor \frac{100}{3}\rfloor -3 =30$ . Pierwsza z nich to $12$ , a ostatnia $99$ . Zatem, zapisujemy

$S_a=\frac{12+99}{2}\cdot 30 = 1\ 665$

Liczb dwucyfrowych podzielnych przez 4 jest $\lfloor \frac{100}{4}\rfloor -2 =23$ . Pierwsza z nich to $12$ , a ostatnia $96$ . Zatem, zapisujemy

$S_b=\frac{12+96}{2}\cdot 23= 1\ 242$

Liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 i 4 jest $\lfloor \frac{100}{12}\rfloor =8$ . Pierwsza z nich to $12$ , a ostatnia $96$ . Zatem, zapisujemy

$S_c=\frac{12+96}{2}\cdot8=432$

Wszystkich liczb dwucyfrowych jest $90$ . Pierwsza z nich to $10$ , a ostatnia $99$ . Zatem, ich suma wynosi

$S_d=\frac{10+99}{2}\cdot90\ =\ 4\ 905$

Ostatecznie zapisujemy sumę liczb dwucyfrowych niepodzielnych przez 3 ani przez 4

$S=S_d-S_a-S_b+S_c = 4\ 905 - 1\ 655 - 1\ 242 +432\ = 2\ 440$

Odp. Suma liczb dwucyfrowych niepodzielnych ani przez 3 ani przez 4 wynosi 2 440.

2. $x\ +\ (3+2x)\ +\ (6+3x)+\ (9+4x)\ +\ \ldots\ +\ (21+8x)\ =\ 156$

Liczby po lewej stronie równania są początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1=x$ . Różnica natomiast wynosi $3+2x-x=3+x$ .

Ostatni wyraz po lewej stronie $21+8x$ jest ósmym wyrazem tego ciągu, ponieważ

$\frac{21+8x-x}{3+x}=7$ , czyli $21+8x=x+7\(3+x)$ .

Zapisujemy wzór na sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu arytmetycznego i podstawiamy do równania.

$\frac{x+(21+8x)}{2}\cdot 8 = 156$

$4(21+9x)=156$

$21+9x=39$

$9x=18$

$x=2$

Odp. Rozwiązaniem równania jest x=2.

4. Wyznaczamy kilka wyrazów ciągu $(a_n)$ .

$a_1=S_1=1^2+2\cdot 1=3$

$a_2=S_2-a_1=(2^2+2\cdot 2)-3=8-3=5$

itd.

Zauważmy, że $a_n=S_n-S_{n-1}$ . Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, sprawdzamy, czy różnica pomiędzy dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.