Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

1. Oblicz sumę trzynastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że siódmy wyraz jest równy 8.

2. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne ani przez 3 ani przez 4.

3. Rozwiąż równanie x\ +\ (3+2x)\ +\ (6+3x)+\ (9+4x)\ +\ \ldots\ +\ (21+8x)\ =\ 156.

4. Sprawdź, czy ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, jeśli S_n=n^2+2n.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Avatar
Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
01.04.2020 10:46

1. Zapisujemy wzór ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a_1 i różnicy r.

a_n=a_1+r(n-1)

Podstawiamy n=7, aby wyznaczyć wzór na siódmy wyraz, którego wartość znamy.

a_7=a_1+r(7-1)=a_1+6r

8=a_1+6r

Wyznaczamy wzór na sumę trzynastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

S_{13}=a_1\ +\ a_2\ +\ \ldots\ +\ a_{13}\ =\ a_1 \ + \ (a_1+r)\ +\ \ldots \ +\ (a_1+12r)\ =

= 13a_1\ +\ r(1+2+\ \ldots\ +12)\ =

=13a_1\ +\ r\frac{1+12}{2}\cdot 12 \ =\ 13a_1 + 13\cdot6r

Wyciągamy powtarzający się czynnik przed nawias, a następnie podstawiamy za a_1+6r wartość 8.

S_{13}=13(a_1+6r)\ =\ 13\cdot 8\ =\ 104

Odp. Suma trzynastu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 104.


2. Obliczymy sumę liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 3, przez 4 oraz równocześnie przez 3 i 4.Natępnie od sumy wszystkich liczb dwucyfrowych odejmiemy te które są podzielne przez 3, przez 4 oraz dodamy te, które dzielą się równocześnie przez 3 i 4 (ponieważ te liczby odjęliśmy dwukrotnie raz przy podzielnych przez 3 a raz przez 4). Otrzymamy w ten sposób sumę, będącą rozwiązaniem zadania.

Zapiszmy odpowiednie ciągi liczb

podzielne przez 3: 3,\hspace{3pt} 6,\hspace{3pt} 9,\hspace{3pt} 12,\hspace{3pt} 15,\hspace{3pt} 18,\hspace{3pt}\ldots \hspace{3pt},96,\hspace{3pt}99,\hspace{3pt}102,\hspace{3pt}\ldots  WZÓR: a_n=3+3(n-1)

podzielne przez 4: 4,\hspace{3pt} 8,\hspace{3pt} 12,\hspace{3pt} 16,\hspace{3pt} 20,\hspace{3pt}\ldots \hspace{3pt},92,\hspace{3pt}96,\hspace{3pt}100,\hspace{3pt}\ldots  WZÓR: b_n=4+4(n-1)

podzielne przez 3 i 4: 12,\hspace{3pt} 24,\hspace{3pt} 36,\hspace{3pt}\ldots \hspace{3pt},84,\hspace{3pt}96,\hspace{3pt}108,\hspace{3pt}\ldots  WZÓR: c_n=12+12(n-1)


Obliczymy odpowiednie sumy.

Liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 jest \lfloor \frac{100}{3}\rfloor -3 =30. Pierwsza z nich to 12, a ostatnia 99. Zatem, zapisujemy

S_a=\frac{12+99}{2}\cdot 30 = 1\ 665

Liczb dwucyfrowych podzielnych przez 4 jest \lfloor \frac{100}{4}\rfloor -2 =23. Pierwsza z nich to 12, a ostatnia 96. Zatem, zapisujemy

S_b=\frac{12+96}{2}\cdot 23= 1\ 242

Liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3 i 4 jest \lfloor \frac{100}{12}\rfloor =8. Pierwsza z nich to 12, a ostatnia 96. Zatem, zapisujemy

S_c=\frac{12+96}{2}\cdot8=432

Wszystkich liczb dwucyfrowych jest 90. Pierwsza z nich to 10, a ostatnia 99. Zatem, ich suma wynosi

S_d=\frac{10+99}{2}\cdot90\ =\ 4\ 905

 

Ostatecznie zapisujemy sumę liczb dwucyfrowych niepodzielnych przez 3 ani przez 4

S=S_d-S_a-S_b+S_c = 4\ 905 - 1\ 655 - 1\ 242 +432\ = 2\ 440

Odp. Suma liczb dwucyfrowych niepodzielnych ani przez 3 ani przez 4 wynosi 2 440.


2. x\ +\ (3+2x)\ +\ (6+3x)+\ (9+4x)\ +\ \ldots\ +\ (21+8x)\ =\ 156

Liczby po lewej stronie równania są początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a_1=x. Różnica natomiast wynosi 3+2x-x=3+x.

Ostatni wyraz po lewej stronie 21+8x jest ósmym wyrazem tego ciągu, ponieważ 

\frac{21+8x-x}{3+x}=7, czyli 21+8x=x+7\(3+x).

Zapisujemy wzór na sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu arytmetycznego i podstawiamy do równania.

\frac{x+(21+8x)}{2}\cdot 8 = 156

4(21+9x)=156

21+9x=39

9x=18

x=2

Odp. Rozwiązaniem równania jest x=2.


4. Wyznaczamy kilka wyrazów ciągu (a_n).

a_1=S_1=1^2+2\cdot 1=3

a_2=S_2-a_1=(2^2+2\cdot 2)-3=8-3=5

itd.

Zauważmy, że a_n=S_n-S_{n-1}. Aby sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, sprawdzamy, czy różnica pomiędzy dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała.

a_n-a_{n-1}=(S_n-S_{n-1})-(S_{n-1}-S_{n-2})=S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}

=(n^2+2n)-2[(n-1)^2+2(n-1)]+[(n-2)^2+2(n-2)]

=n^2+2n-2(n^2-1)+n^2-2n = 2

Odp. Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 1 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również:

  • Wiedza