Zadania tekstowe związane z ciągiem arytmetycznym

1. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz pole tego trójkąta.

2. Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=x^2-2x+3. Wykaż, że ciąg (a_n), określony za pomocą wzoru a_n=f(n+1)-f(n), jest arytmetyczny.

3. Wykaż, że jeżeli ciąg (a_n) jest arytmetyczny, to ciąg (b_n) też jest ciągiem arytmetycznym

b_n=xa_n+y, dla dowolnych x, y \in R.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
15.04.2020 11:34

1. Boki trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli jden z boków ma długość x, to kolejne to x+3 \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} (x+3)+3=x+6.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i zapisujemy zależność między bokami. Najdłuższy bok o długości x+6 jest przeciwprostokątną.

x^2+(x+3)^2=(x+6)^2

Rozwijamy ze wzorów skróconego mnożenia.

x^2+x^2+6x+9=x^2+12x+36

x^2-6x-27=0

Szukamy pierwiastków wielomianu x^2-6x-27. Obliczmy wyróżnik

 \Delta=(-6)^2-4\cdot 1 \cdot (-27) = 36+108 = 144

Ze wzorów na pierwiastki wielomianu kwadrtaowego, obliczamy

x_1=\frac{-(-6)-\sqrt[]{\Delta}}{2\cdot 1}=\frac{6-12}{2}=-3

x_2=\frac{-(-6)+\sqrt[]{\Delta}}{2\cdot 1}=\frac{6+12}{2}=9

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, więc nie może być długością boku. Drugi pierwiastek jest dodatni, spełnia równanie i jest szukaną długością.

Zatem, w rozważanym trójkącie prostokątnym mamy boki następującej długości 9,\ 9+3=12,\ 12+3=15.

Obliczmy pole P=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 12=54.

Odp. Pole rozważanego tójkąta wynosi 54.


2. Wyznaczamy wzór na n-ty wyraz ciągu, podstawiając odpowiednie wartości funkcji.

a_n=f(n+1)-f(n)=(n+1)^2-2(n+1)+3-n^2+2n-3=n^2+2n+1-2n-2-n^2+2n=2n-1

Sprawdzamy, czy różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała. Obliczamy a_{n+1}-a_n

a_{n+1}-a_n=[2(n+1)-1]-[2n-1]=2n+2-1-2n+1=2

Różnica jest stała, równa 2. Zatem, podany ciąg jest arytmetyczny.

 

3. Sprawdzamy, czy różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami ciągu (b_n) jest stała.

Wiemy, że ciąg (a_n) jest arytmetyczny, tzn. a_{n+1}-a_n dla dowolnego n\in N jest stała. Oznaczmy tę różnicę przez r.

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu (b_n).

b_{n+1}-b_{n}=[xa_{n+1}+y]-[xa_n+y]=x(a_{n+1}-a_n)=xr

Zatem, ciąg (b_n) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy xr.


Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 1 + 2 =
Wszystkie odpowiedzi (0)