Zadania tekstowe związane z ciągiem arytmetycznym

1. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz pole tego trójkąta.

2. Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=x^2-2x+3$ . Wykaż, że ciąg $(a_n)$ , określony za pomocą wzoru $a_n=f(n+1)-f(n)$ , jest arytmetyczny.

3. Wykaż, że jeżeli ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, to ciąg $(b_n)$ też jest ciągiem arytmetycznym

$b_n=xa_n+y$ , dla dowolnych $x, y \in R$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

15.04.2020 11:34

1. Boki trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli jden z boków ma długość $x$ , to kolejne to $x+3 \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} (x+3)+3=x+6$ .

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i zapisujemy zależność między bokami. Najdłuższy bok o długości $x+6$ jest przeciwprostokątną.

$x^2+(x+3)^2=(x+6)^2$

Rozwijamy ze wzorów skróconego mnożenia.

$x^2+x^2+6x+9=x^2+12x+36$

$x^2-6x-27=0$

Szukamy pierwiastków wielomianu $x^2-6x-27$ . Obliczmy wyróżnik

$\Delta=(-6)^2-4\cdot 1 \cdot (-27) = 36+108 = 144$

Ze wzorów na pierwiastki wielomianu kwadrtaowego, obliczamy

$x_1=\frac{-(-6)-\sqrt[]{\Delta}}{2\cdot 1}=\frac{6-12}{2}=-3$

$x_2=\frac{-(-6)+\sqrt[]{\Delta}}{2\cdot 1}=\frac{6+12}{2}=9$

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, więc nie może być długością boku. Drugi pierwiastek jest dodatni, spełnia równanie i jest szukaną długością.

Zatem, w rozważanym trójkącie prostokątnym mamy boki następującej długości $9,\ 9+3=12,\ 12+3=15$ .

Obliczmy pole $P=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 12=54$ .

Odp. Pole rozważanego tójkąta wynosi 54.

2. Wyznaczamy wzór na n-ty wyraz ciągu, podstawiając odpowiednie wartości funkcji.

$a_n=f(n+1)-f(n)=(n+1)^2-2(n+1)+3-n^2+2n-3=n^2+2n+1-2n-2-n^2+2n=2n-1$

Sprawdzamy, czy różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest stała. Obliczamy $a_{n+1}-a_n$ .

$a_{n+1}-a_n=[2(n+1)-1]-[2n-1]=2n+2-1-2n+1=2$

Różnica jest stała, równa 2. Zatem, podany ciąg jest arytmetyczny.

3. Sprawdzamy, czy różnica między dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami ciągu $(b_n)$ jest stała.

Wiemy, że ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny, tzn. $a_{n+1}-a_n$ dla dowolnego $n\in N$ jest stała. Oznaczmy tę różnicę przez $r$ .

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu $(b_n)$ .

$b_{n+1}-b_{n}=[xa_{n+1}+y]-[xa_n+y]=x(a_{n+1}-a_n)=xr$

Zatem, ciąg $(b_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $xr$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Zadania tekstowe związane z ciągiem arytmetycznym

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: