Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu

Wyznacz wzory ogólne podanych ciągów. Oblicz 12 wyraz ciągu.

a) ciąg liczb parzystych większych niż 8;

b) \sqrt[]{2},\ \sqrt[]{3},\ \sqrt[]{4},\ \sqrt[]{5},\ \sqrt[]{6},\ \ldots;

c) \frac{1}{6},\ \frac{4}{11},\ \frac{7}{16},\ \frac{10}{21},\  \frac{13}{26},\ \ldots;

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Avatar
Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
14.04.2020 10:47

a) Zapisujemy kolejne wyrazy ciągu

10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ \ldots

Jest to ciąg arytmetyczny. Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi 2. Zatem możemy zapisać wzór ogólny

a_n=10+2(n-1)

Teraz wyzanczamy 12 wyraz ciągu, podstawiając do zapisanego wzoru n=12.

a_{12}=10+2(12-1)=10+22=32


b) \sqrt[]{2},\ \sqrt[]{3},\ \sqrt[]{4},\ \sqrt[]{5},\ \sqrt[]{6},\ \ldots

Liczby pod pierwiastkiem tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1 o wzorze c_n=2+(n-1)=n+1. Pierwiastkując wyrazy ciągu c_n, otrzymujemy wyrazy rozpatrywanego ciągu. Zatem, wzór ogólny wygląda następujaco

a_n=\sqrt[]{c_n}=\sqrt[]{n+1}

c) \frac{1}{6},\ \frac{4}{11},\ \frac{7}{16},\ \frac{10}{21},\  \frac{13}{26},\ \ldots

Szukamy zależności pomiędzy kolejnymi wyrazami. Zauważmy, że licznik podanych ułamków rośnie za każdym razem o 3, natomiast mianownik o 5. Liczby 1, \ 4,\ 7, \ 10,\ 13,\ \ldots tworzą ciąg arytmetyczny o wzorze b_n=1+3(n-1)=3n-2, a liczby 6, \ 11,\ 16,\ 21,\ 26, \ \ldots ciąg arytmetyczny o wzorze c_n=6+5(n-1)=5n+1. Ostatecznie wzór na n-ty wyraz rozpatrywanego ciągu wyraża się wzorem

a_n=\frac{b_n}{c_n}=\frac{3n-2}{5n+1}

Dzięki! 3
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 4 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również:

  • Wiedza