Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu

Wyznacz wzory ogólne podanych ciągów. Oblicz 12 wyraz ciągu.

a) ciąg liczb parzystych większych niż 8;

b) $\sqrt[]{2},\ \sqrt[]{3},\ \sqrt[]{4},\ \sqrt[]{5},\ \sqrt[]{6},\ \ldots$ ;

c) $\frac{1}{6},\ \frac{4}{11},\ \frac{7}{16},\ \frac{10}{21},\ \frac{13}{26},\ \ldots$ ;

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

14.04.2020 10:47

a) Zapisujemy kolejne wyrazy ciągu

$10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ \ldots$

Jest to ciąg arytmetyczny. Różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi $2$ . Zatem możemy zapisać wzór ogólny

$a_n=10+2(n-1)$

Teraz wyzanczamy 12 wyraz ciągu, podstawiając do zapisanego wzoru $n=12$ .

$a_{12}=10+2(12-1)=10+22=32$

b) $\sqrt[]{2},\ \sqrt[]{3},\ \sqrt[]{4},\ \sqrt[]{5},\ \sqrt[]{6},\ \ldots$

Liczby pod pierwiastkiem tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1 o wzorze $c_n=2+(n-1)=n+1$ . Pierwiastkując wyrazy ciągu $c_n$ , otrzymujemy wyrazy rozpatrywanego ciągu. Zatem, wzór ogólny wygląda następujaco

$a_n=\sqrt[]{c_n}=\sqrt[]{n+1}$

c) $\frac{1}{6},\ \frac{4}{11},\ \frac{7}{16},\ \frac{10}{21},\ \frac{13}{26},\ \ldots$

Szukamy zależności pomiędzy kolejnymi wyrazami. Zauważmy, że licznik podanych ułamków rośnie za każdym razem o 3, natomiast mianownik o 5. Liczby $1, \ 4,\ 7, \ 10,\ 13,\ \ldots$ tworzą ciąg arytmetyczny o wzorze $b_n=1+3(n-1)=3n-2$ , a liczby $6, \ 11,\ 16,\ 21,\ 26, \ \ldots$ ciąg arytmetyczny o wzorze $c_n=6+5(n-1)=5n+1$ . Ostatecznie wzór na n-ty wyraz rozpatrywanego ciągu wyraża się wzorem

$a_n=\frac{b_n}{c_n}=\frac{3n-2}{5n+1}$

Dzięki! 3

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: