Okrąg opisany na trapezie

Na trapezie ABCD opisano okrąg o środku w punkcie S i promieniu r\ =\ 8\ \text{ cm}. Kąt między dłuższą podstawą AB a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu A jest równy 30^{\circ}. Oblicz długości podstaw tego trapezu, jeśli jesgo wysokość jest równa h\ =\ 10\ \text{ cm}.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
17.07.2020 10:15

Poniższy rysunek jest ilustracją do zadania. Musimy wyznaczyć zaznaczone na nim długości a\ \text{ i }\ b.

Ilustracja zadania

Na początku wyznaczymy długość podstawy AB, korzytsając z wartości funkcji cosinus. Zaznaczamy odpowiedni trójkąt prostokątny i zapisujemy równanie.

Wycinek z trójkątem prostokątnym

\cos 30^{\circ}\ =\ \frac{\frac{a}{2}}{8}

\frac{\sqrt[]{3}}{2}\ =\ \frac{a}{16}

a\ =\ 8\sqrt[]{3}\ \text{ cm}

 

Teraz wyznaczamy wysokość h_1, korzystając z tw. Pitagorasa.

h_1^2\ +\ (\frac{a}{2})^2\ =\ r^2

h_1^2\ +\ (4\sqrt[]{3})^2\ =\ 8^2

h_1^2\ =\ 64\ -\ 48

h_1\ =\ 4\ \text{cm}

Na kolejnym rysunku zaznaczono trójkąt prostokątny przy podstawie CD. Korzystając z tw. Pitagorasa wyznaczymy długość b.

Aby to zrobić, potrzebujemy długość wysokości h_2.

h\ =\ h_1\ +\ h_2

10\ \text{cm}\ =\ 4\ \text{ cm} +\ h_2

h_2\ =\ 6\ \text{ cm}

Teraz zapisujemy tw. Pitagorasa

h_2^2\ +\ (\frac{b}{2})^2\ =\ r^2

36\ +\ \frac{b^2}{4}\ =\ 64

b^2\ =\ 112

b\ =\ 4\sqrt[]{7}\ \text{ cm}

Odp. Długości podstaw są równe 8\sqrt[]{3}\text{ cm}, \ 4\sqrt[]{7}\text{ cm}.


Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 5 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: