Obliczanie kątów środkowych i wpisanych w okrąg

Wyznacz miary kątów $\alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta$

a) b) c)

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

09.06.2020 15:20

a) Kąt $\alpha$ jest kątem środkowym (jego wierzchołkiem jest środek okręgu), natomiast kąt $\beta$ to kąt wpisany w okrąg (jego wierzchołek leży na okręgu, jego ramiona zawierają cięciwy okręgu).

Wyznaczmy miary kątów w trójkącie równoramiennym, którego ramiona są długości promienia okręgu, a kąt przy podstawie ma miarę $55^{\circ}$ .

Drugi kąt przy podstawie ma również miarę $55^{\circ}$ (ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie są takie same). Trzeci kąt w danym trójkącie ma miarę

$180^{\circ} - 2\cdot 55^{\circ} = 70^{\circ}$

Kąt $\alpha$ i kąt $70^{\circ}$ to kąty wierzchołkowe, zatem mają takie same miary, czyli

$\alpha = 70^{\circ}$ .

Kąt $\beta$ i kąt $55^{\circ}$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, więc również mają tę samą miarę.

$\beta = 55^{\circ}$ .

b) Kąty $\alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta$ są oparte na tym samym łuku (zaznaczonym na rysunku czerwonym kolorem),

kąt $\alpha$ jest środkowy, a kąt $\beta$ wpisany w okrąg, zatem

$2\alpha = \beta$ .

Miarę kąta $\alpha$ , podobnie jak w podpunkcie a), wyznaczamy z trójkąta równoramiennego. Otrzymujemy

$\alpha = 180^{\circ} - 2\cdot 47^{\circ} = 86^{\circ}$

Korzystając z wcześniej podanej zależności, obliczamy miarę kąta $\beta$ :

$\beta = \frac{1}{2}\cdot 86^{\circ} = 43^{\circ}$ .

Odp. Miary kątów $\alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta$ są odpowiednio równe $86^{\circ} \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} 43^{\circ}$ .

c) Wyznaczamy miary poszczególnych kątów. Miarę kąta zaznaczony na rysunku kolorem niebieskim, otrzymujemy odejmując od miary kąta półpełnego miarę kąta przyległego

$180^{\circ}-100^{\circ} = 80^{\circ}$

Miarę kąta zaznaczonego kolorem czerwonym, otrzymujemy z własności trójkąta (suma kątów jest równa mierze kąta półpełnego)

$180^{\circ}-80^{\circ}-30^{\circ} = 70^{\circ}$

Kąt zaznaczony kolorem czerwonym i kąt $\alpha$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku (również zaznaczonym kolorem czerwonym). Zatem, mają tę samą miarę.

$\alpha = 70^{\circ}$ .

Na kolejnym rysunku, zaznaczone są miary innych kątów, znając ich miary z łątwością obliczmy miarę kąta $\beta$ .

Miarę pierwszego z nich, zaznaczonego kolorem czerwonym, otrzymujemy odejmując od miary kąta prostego miarę kąta $\alpha$ (ponieważ kąt, bedący sumą kąta $\alpha$ i kąta zaznaczonego kolorem czerwonym, jest oparty na średnicy okręgu, czyli ma miarę $90^{\circ}$ ).

$90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$

Natomiast kąt zaznaczony kolorem niebieskim i kąt o mierze $100^{\circ}$ są kątami wierzchołkowymi, więc mają tę samą miarę.

Kąty $20^{\circ}, 100^{\circ} \text{ i } \beta$ są kątami wewnętrznymi tójkąta, zatem

$\beta = 180^{\circ}-100^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$

Odp. Miary kątów $\alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta$ są odpowiednio równe $70^{\circ} \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} 60^{\circ}$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Obliczanie kątów środkowych i wpisanych w okrąg

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: