Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Obliczanie kątów środkowych i wpisanych w okrąg

Wyznacz miary kątów \alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta

 

a)Kąty w okręgu    b)  Kąty w okręgu c) Kąty w okręgu



Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
09.06.2020 15:20

a) Kąt \alpha jest kątem środkowym (jego wierzchołkiem jest środek okręgu), natomiast kąt \beta to kąt wpisany w okrąg (jego wierzchołek leży na okręgu, jego ramiona zawierają cięciwy okręgu). 

Wyznaczmy miary kątów w trójkącie równoramiennym, którego ramiona są długości promienia okręgu, a kąt przy podstawie ma miarę 55^{\circ}

Trójkąt równoramienny

Drugi kąt przy podstawie ma również miarę 55^{\circ} (ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie są takie same). Trzeci kąt w danym trójkącie ma miarę

180^{\circ} - 2\cdot 55^{\circ} = 70^{\circ}


Kąt \alpha i kąt 70^{\circ} to kąty wierzchołkowe, zatem mają takie same miary, czyli 

\alpha = 70^{\circ}.

Kąt \beta i kąt 55^{\circ} są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, więc również mają tę samą miarę.

\beta = 55^{\circ}.


b) Kąty \alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta są oparte na tym samym łuku (zaznaczonym na rysunku czerwonym kolorem),

Kąty w okręgu

kąt  \alpha  jest środkowy, a kąt  \beta  wpisany w okrąg, zatem

2\alpha = \beta.

Miarę kąta \alpha, podobnie jak w podpunkcie a), wyznaczamy z trójkąta równoramiennego. Otrzymujemy

\alpha = 180^{\circ} - 2\cdot 47^{\circ} = 86^{\circ}

Korzystając z wcześniej podanej zależności, obliczamy miarę kąta \beta:

\beta = \frac{1}{2}\cdot 86^{\circ} = 43^{\circ}.

Odp. Miary kątów  \alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta są odpowiednio równe 86^{\circ} \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} 43^{\circ}.


c) Wyznaczamy miary poszczególnych kątów. Miarę kąta zaznaczony na rysunku kolorem niebieskim, otrzymujemy odejmując od miary kąta półpełnego miarę kąta przyległego

180^{\circ}-100^{\circ} = 80^{\circ}

 

Miarę kąta zaznaczonego kolorem czerwonym, otrzymujemy z własności trójkąta (suma kątów jest równa mierze kąta półpełnego)

180^{\circ}-80^{\circ}-30^{\circ} = 70^{\circ}

Kąty w okręgu

Kąt zaznaczony kolorem czerwonym i kąt \alpha są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku (również zaznaczonym kolorem czerwonym). Zatem, mają tę samą miarę.

\alpha = 70^{\circ}.

Na kolejnym rysunku, zaznaczone są miary innych kątów, znając ich miary z łątwością obliczmy miarę kąta \beta.

Miarę pierwszego z nich, zaznaczonego kolorem czerwonym, otrzymujemy odejmując od miary kąta prostego miarę kąta \alpha (ponieważ kąt, bedący sumą kąta \alpha i kąta zaznaczonego kolorem czerwonym, jest oparty na średnicy okręgu, czyli ma miarę 90^{\circ}).

90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}

Natomiast kąt zaznaczony kolorem niebieskim i kąt o mierze 100^{\circ} są kątami wierzchołkowymi, więc mają tę samą miarę.

Kąty w okręgu

Kąty 20^{\circ}, 100^{\circ} \text{ i } \beta są kątami wewnętrznymi tójkąta, zatem

\beta = 180^{\circ}-100^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}


Odp. Miary kątów  \alpha \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} \beta są odpowiednio równe 70^{\circ} \hspace{5pt} \text{ i } \hspace{5pt} 60^{\circ}.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 5 =
Wszystkie odpowiedzi (0)