Kąt między styczną a cięciwą okręgu

a) Wiemy, że kąt między styczną do okręgu a cięciwą okręgu, poprowadzoną z punktu styczności, jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na łuku wyznaczonym przez końce tej cięciwy. Na poniższym rysunku zaznaczone są odpowiednie kąty - między styczną a cięciwą oraz środkowy oparty na łuku wyznaczonym przez końce tej cięciwy.

Ponieważ zaznaczony kąt środkowy o mierze  jest oparty na tym samym łuku, co zaznaczony kąt wpisany o mierze , to zachodzi

(kąt środkowy w okręgu jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego opatego na tym samym łuku).

Stąd

.

b) Korzystając z rozumowania podanego w podpunkcie a), zaznaczamy kąt wpisany, który ma taką samą miarę, co kąt między styczną a cięciwą.

Zauważmy, że trójkąt, oparty na średnicy, którego jednym z kątów jest zaznaczony na czerwono kąt  ma miarę  (kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym).

Aby wyznaczyć miarę kąta , znajdziemy najpierw miarę trzeciego kąta w trójkącie prostokątnym, oznaczonego literą .

Kąt  i zaznaczony na rysunku kąt wpisany o mierze  są oparte na tym samym łuku, zatem, mają tę samą miarę. Korzystając z własności trójkąta - suma kątów w tójkącie wynosi  - wyznaczamy miarę 

.