Sprawdzanie podzielności wielomianu

Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian w jest podzielny przez wielomian q

a) w(x)=x^4+4x^3+x^2-6x, \hspace{10pt} q(x)=(x-1)(x+2),

b) w(x)=2x^3-7x^2+2x+3, \hspace{10pt} q(x)=2x^2-x-1,

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
21.03.2020 15:34

Korzystamy z twierdzenia Bezouta.

 

Twierdzenie Bezouta

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian w jest podzielny przez dwumian x-a.


a) w(x)=x^4+4x^3+x^2-6x, \hspace{10pt} q(x)=(x-1)(x+2)


Sprawdzamy, czy wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1 oraz x+2. W tym celu sprawdzamy, czy w(1),\ \  w(-2) są zerami.

w(1)=1^4+4\cdot1^3+1^2-6\cdot1 = 1+4+1-6=0

w(-2)=(-2)^4+4\cdot(-2)^3+(-2)^2-6\cdot(-2)=16-32+4+12=0


Stąd, wielomian w jest podzielny przez wielomian q.


b) w(x)=2x^3-7x^2+2x+3, \hspace{10pt} q(x)=2x^2-x-1

 

Zapisujemy wielomian q w postaci iloczynowej. Obliczamy wyróżnik tego wielomianu i znajdujemy jego pierwiastki.

\Delta(q)=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=9

x_1=\frac{-(-1)-\sqrt[]{9}}{2\cdot2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}

x_2=\frac{-(-1)+\sqrt[]{9}}{2\cdot2}=\frac{1+3}{4}=1


Stąd q(x)=2(x+\frac{1}{2})(x-1).


Sprawdzamy, czy wielomian w jest podzielny przez dwumian x-1 oraz x+\frac{1}{2}. W tym celu sprawdzamy, czy w(1),\ \  w\left(-\frac{1}{2}\right) są zerami.

w(1)=2\cdot1^3-7\cdot1^2+2\cdot1+3=2-7+2+3=0

w\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot(-\frac{1}{2})^4-7\cdot(-\frac{1}{2})^2+2\cdot(-\frac{1}{2})+3=-\frac{1}{4}-\frac{7}{4}-1+3=0


Stąd, wielomian w jest podzielny przez wielomian q.



Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 1 =
Wszystkie odpowiedzi (0)