Sprawdzanie podzielności wielomianu

Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian $w$ jest podzielny przez wielomian $q$

a) $w(x)=x^4+4x^3+x^2-6x, \hspace{10pt} q(x)=(x-1)(x+2)$ ,

b) $w(x)=2x^3-7x^2+2x+3, \hspace{10pt} q(x)=2x^2-x-1$ ,

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

21.03.2020 15:34

Korzystamy z twierdzenia Bezouta.

Twierdzenie Bezouta

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x-a$ .

a) $w(x)=x^4+4x^3+x^2-6x, \hspace{10pt} q(x)=(x-1)(x+2)$

Sprawdzamy, czy wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x-1$ oraz $x+2$ . W tym celu sprawdzamy, czy $w(1),\ \ w(-2)$ są zerami.

$w(1)=1^4+4\cdot1^3+1^2-6\cdot1 = 1+4+1-6=0$

$w(-2)=(-2)^4+4\cdot(-2)^3+(-2)^2-6\cdot(-2)=16-32+4+12=0$

Stąd, wielomian $w$ jest podzielny przez wielomian $q$ .

b) $w(x)=2x^3-7x^2+2x+3, \hspace{10pt} q(x)=2x^2-x-1$

Zapisujemy wielomian $q$ w postaci iloczynowej. Obliczamy wyróżnik tego wielomianu i znajdujemy jego pierwiastki.

$\Delta(q)=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=9$

$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt[]{9}}{2\cdot2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{-(-1)+\sqrt[]{9}}{2\cdot2}=\frac{1+3}{4}=1$

Stąd $q(x)=2(x+\frac{1}{2})(x-1)$ .

Sprawdzamy, czy wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x-1$ oraz $x+\frac{1}{2}$ . W tym celu sprawdzamy, czy $w(1),\ \ w\left(-\frac{1}{2}\right)$ są zerami.

$w(1)=2\cdot1^3-7\cdot1^2+2\cdot1+3=2-7+2+3=0$

$w\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot(-\frac{1}{2})^4-7\cdot(-\frac{1}{2})^2+2\cdot(-\frac{1}{2})+3=-\frac{1}{4}-\frac{7}{4}-1+3=0$

Stąd, wielomian $w$ jest podzielny przez wielomian $q$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Sprawdzanie podzielności wielomianu

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: