Obliczanie reszty z dzielenia wielomianu przez wielomian

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian q, nie wykonując dzielenia.

a) q(x)=(x+1)(x-4) i wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x+1 wynosi 10, a przez dwumian x-4 wynosi 5.

b) w(x)=x^{79}+2x-3, \hspace{10pt} q(x)=x^2-1.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
23.03.2020 22:45

Jeśli q jest wielomianem drugiego stopnia, to wielomian w można przedstawić w postaci w(x)=p(x)q(x)+ax+b , gdzie ax+b jest resztą z dzielenia wielomianu w przez wielomian q.


a) Wiemy, że w(-1)=10 \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} w(4)=5. Korzystając z powyższego faktu, możemy zapisać wielomian w następująco

w(x)=p(x)(x+1)(x-4)+ax+b.

Podstawiając znane wartości dla x=-1 \hspace{10pt} \text{i} \hspace{10pt} x=4, otrzymujemy układ równań

\left\{ \begin{array}{l}
10=a\cdot(-1)+b\\
5=a\cdot4+b\\
\end{array} \right.

Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy

5=-5a

a stąd a=-1. Podstawiając do pierwszego rówania dostajemy b=9.

Ostatecznie r(x)=-x+9.


b) Zapisujemy q(x)=(x-1)(x+1). Podobnie jak w podpunkcie a) możemy zapisać wielomian w w postaci

w(x)=p(x)(x-1)(x+1)+ax+b.

Szukamy reszt z dzielenia wielomianu przez dwumiany x-1 \hspace{10pt} \text{i} \hspace{10pt} x+1. W tym celu obliczamy w(1) \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} w(-1).

w(1)=1^{79}+2\cdot 1-3=1+2-3=0

w(-1)=(-1)^{79}+2\cdot(-1)-3=-1-2-3=-6

Znając powyższe wartości zapisujemy układ równań

\left\{ \begin{array}{l}
0=a\cdot1+b\\
-6=a\cdot(-1)+b\\
\end{array} \right.

Rozwiązujemy układ równań i otrzymujemy

\left\{ \begin{array}{l}
a=3\\
b=-3\\
\end{array} \right.

Ostatecznie r(x)=3x-3.


Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 5 + 2 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: