Obliczanie reszty z dzielenia wielomianu przez wielomian

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $w$ przez wielomian $q$ , nie wykonując dzielenia.

a) $q(x)=(x+1)(x-4)$ i wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu $w$ przez dwumian $x+1$ wynosi $10$ , a przez dwumian $x-4$ wynosi $5$ .

b) $w(x)=x^{79}+2x-3, \hspace{10pt} q(x)=x^2-1$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

23.03.2020 22:45

Jeśli $q$ jest wielomianem drugiego stopnia, to wielomian $w$ można przedstawić w postaci $w(x)=p(x)q(x)+ax+b$ , gdzie $ax+b$ jest resztą z dzielenia wielomianu $w$ przez wielomian $q$ .

a) Wiemy, że $w(-1)=10 \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} w(4)=5$ . Korzystając z powyższego faktu, możemy zapisać wielomian $w$ następująco

$w(x)=p(x)(x+1)(x-4)+ax+b$ .

Podstawiając znane wartości dla $x=-1 \hspace{10pt} \text{i} \hspace{10pt} x=4$ , otrzymujemy układ równań

$\left\{ \begin{array}{l} 10=a\cdot(-1)+b\\ 5=a\cdot4+b\\ \end{array} \right.$

Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy

$5=-5a$

a stąd $a=-1$ . Podstawiając do pierwszego rówania dostajemy $b=9$ .

Ostatecznie $r(x)=-x+9$ .

b) Zapisujemy $q(x)=(x-1)(x+1)$ . Podobnie jak w podpunkcie a) możemy zapisać wielomian $w$ w postaci

$w(x)=p(x)(x-1)(x+1)+ax+b$ .

Szukamy reszt z dzielenia wielomianu przez dwumiany $x-1 \hspace{10pt} \text{i} \hspace{10pt} x+1$ . W tym celu obliczamy $w(1) \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} w(-1)$ .