Przecięcie symetralnych boków trójkąta

Udowodnij, że symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
06.07.2020 15:47

Rozpatrzymy na początku odległość punktu przecięcia symetralnych dwóch boków od wierzchołków trójkąta. Na poniższych rysunkach znajdują się przykłady dla trójkątów ostrokątnego, rozwartokątnego i prostokątnego. Punkt przecięcia symetralnych oznaczono literą P, a rozważane odległości kolejno d_1,\ d_2,\ d_3.

Symetealne w trójkącie ostrokątnym  Symetralne w trójkącie rozwartokątnym  Symetralne w trójkącie prostokątnym

Zauważmy, że odległości d_1 \text{ i } d_2 są równe, ponieważ są one przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych tych samych długości. Podobnie odległości d_2 \text{ i } d_3 są takie same. Zatem

d_1\ =\ d_2\ =\ d_3.

Przyjrzyjmy się teraz odległości punktu P od trzeciego boku trójkąta (którego symetralna nie została poprowadzona). W każdym z trzech przypadków odległość ta jest wysokością trójkąta równoramiennego o bokach długości d_1 \text{ i } d_3. Ta wysokość oczywiście pada pod kątem prostym i przecina podstawę w połowie.

Zatem prosta przechodząca przez punkt P i spodek wysokości wspomnianego trójkąta równoramiennego jest symetralną trzeciego boku danego trójkąta.


Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 5 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)