Obwód trójkąta, przy użyciu trygonometrii

Kąty ostre mają miary 30 i 45 stopni, a wysokość opuszczona na najdłuższy bok jest równa 3 cm. Oblicz obwód tego trójkąta

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Weronika Ekspert eSzkola.pl

11.01.2021 10:38

Rozwiązywanie rozpoczniemy od odpowiedniego rysunku. Znając miary dwóch kątów trójkąta, jesteśmy w stanie obliczyć trzeci kąt: 30 + 45 = 75 stopni, a zatem 180 - 75 = 105 stopni.

Do obliczenia obwodu trójkąta potrzebujemy długości wszystkich trzech boków. Skrozystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym BCD i trójkącie prostokątnym ADC.

Trójkąt BDC:

Możemy wypisać z definicji funkcji sinusa następującą zależność: $\sin30^{o} = \frac{3}{|BC|}$ , a stąd korzystając z tablic trygonometrycznych mamy $\frac{1}{2} = \frac{3}{|BC|}$ , czyli $|BC| = 6$ .

Podobnie wypisujemy zależność dla tangensa: $tg30^{o} = \frac{3}{|BD|}$ , a stąd na mocy tablic trygonometrycznych mamy $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{|BD|}$ , czyli $|BD| = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ .

Teraz skorzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie ADC:

Zauważamy, że mamy tutaj trójkąt równoramienny, a zatem bok |AD|=3. Natomiast bok AC jest przekątną kwadratu o boku długości 3, czyli |AC|= $3\sqrt{2}$ .

Teraz wszystko dodajemy:

Obw = |AB| + |BC| + |AC| = (|AD| + |DB|) + |BC| + |AC| = $(3 + 3\sqrt{3}) + 6 + 3\sqrt{2}$ $= 9 + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$ $= 9 + 3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ .

Dzięki! 5

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Obwód trójkąta, przy użyciu trygonometrii

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: