Obwód trójkąta, przy użyciu trygonometrii

Kąty ostre mają miary 30 i 45 stopni, a wysokość opuszczona na najdłuższy bok jest równa 3 cm. Oblicz obwód tego trójkąta

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Weronika Ekspert eSzkola.pl
11.01.2021 10:38

Rozwiązywanie rozpoczniemy od odpowiedniego rysunku. Znając miary dwóch kątów trójkąta, jesteśmy w stanie obliczyć trzeci kąt: 30 + 45 = 75 stopni, a zatem 180 - 75 = 105 stopni. 

Do obliczenia obwodu trójkąta potrzebujemy długości wszystkich trzech boków. Skrozystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym BCD i trójkącie prostokątnym ADC.

Trójkąt BDC:

 

Możemy wypisać z definicji funkcji sinusa następującą zależność: \sin30^{o} = \frac{3}{|BC|}, a stąd korzystając z tablic trygonometrycznych mamy \frac{1}{2} = \frac{3}{|BC|}, czyli |BC| = 6

Podobnie wypisujemy zależność dla tangensa: tg30^{o} = \frac{3}{|BD|}, a stąd na mocy tablic trygonometrycznych mamy \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{|BD|}, czyli |BD| = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}.

Teraz skorzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie ADC:

Zauważamy, że mamy tutaj trójkąt równoramienny, a zatem bok |AD|=3. Natomiast bok AC jest przekątną kwadratu o boku długości 3, czyli |AC|=3\sqrt{2}.

Teraz wszystko dodajemy:

Obw = |AB| + |BC| + |AC| = (|AD| + |DB|) + |BC| + |AC| = (3 + 3\sqrt{3}) + 6 + 3\sqrt{2} = 9 + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 9 + 3 (\sqrt{3} + \sqrt{2}).

Dzięki! 1
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 4 + 4 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: