Sprawdzanie, kiedy wielomiany są równe

Dla jakich wartości parametru a zachodzi równość?

a) 2x^3-x^2+7x+4=(x^2-x+4)(ax+1),

b) -x^4+5x^3-x^2+8x-15=(-x^3+ax^2+bx+3)(x-5),

c) x^5+6x^4-4=(x^3-2)(ax^2+x).

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
17.03.2020 14:29

Wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe.


a) 2x^3-x^2+7x+4=(x^2-x+4)(ax+1)

Rozpisujemy prawą stronę równości i porządkujemy wyrazy.

P=\ ax^3+x^2-ax^2-x+4ax+4

=\ ax^3+x^2(1-a)+x(4a-1)+4


Porównujemy współczynniki wielomianu z lewej strony równości ze współczynnikami przy odpowiednich potęgach

wielomianu po prawej stronie. Otrzymujemy:

2=a \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} -1=1-a \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 7=4a-1 \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt}  4=4

 

Odczytujemy, że dla a=2 wielomiany są równe.


b) -x^4+5x^3-x^2+8x-15=(-x^3+ax^2+bx+3)(x-5)

Rozpisuejmy prawą stronę i porządkujemy wyrazy wielomianu.

 

P=-x^4+5x^3+ax^3-5ax^2+bx^2-5bx+3x-15

=-x^4+x^3(5+a)+x^2(-5a+b)+x(-5b+3)-15

Porównujemy współczynniki wielomianu z lewej strony równości ze współczynnikami przy odpowiednich potęgach

wielomianu po prawej stronie. Otrzymujemy:

-1=-1\hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 5=5+a \hspace{10pt}\wedge \hspace{10pt} -1=-5a+b \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 8=-5b+3 \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} -15=-15

 

Odczytujemy, że dla a=0 \hspace{10pt}\wedge \hspace{10pt}b=-1 wielomiany są równe.

 

 

c) x^5+6x^4-4=(x^3-2)(ax^2+x)

Rozpisuejmy prawą stronę i porządkujemy wyrazy wielomianu.

P=ax^5+x^4-2ax^2-2x

Porównujemy współczynniki wielomianu z lewej strony równości ze współczynnikami przy odpowiednich potęgach

wielomianu po prawej stronie. Otrzymujemy:

1=a \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 6=1 \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt}0= -2a\hspace{10pt}\wedge \hspace{10pt} 0=-2 \hspace{10pt}\wedge -4=0

 

Otrzymuejmy sprzeczność. Zatem, dla a \in \emptyset wielomiany są równe.


Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 1 =
Wszystkie odpowiedzi (0)