Sprawdzanie, kiedy wielomiany są równe

Dla jakich wartości parametru $a$ zachodzi równość?

a) $2x^3-x^2+7x+4=(x^2-x+4)(ax+1)$ ,

b) $-x^4+5x^3-x^2+8x-15=(-x^3+ax^2+bx+3)(x-5)$ ,

c) $x^5+6x^4-4=(x^3-2)(ax^2+x)$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

17.03.2020 14:29

Wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe.

a) $2x^3-x^2+7x+4=(x^2-x+4)(ax+1)$

Rozpisujemy prawą stronę równości i porządkujemy wyrazy.

$P=\ ax^3+x^2-ax^2-x+4ax+4$

$=\ ax^3+x^2(1-a)+x(4a-1)+4$

Porównujemy współczynniki wielomianu z lewej strony równości ze współczynnikami przy odpowiednich potęgach

wielomianu po prawej stronie. Otrzymujemy:

$2=a \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} -1=1-a \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 7=4a-1 \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 4=4$

Odczytujemy, że dla $a=2$ wielomiany są równe.

b) $-x^4+5x^3-x^2+8x-15=(-x^3+ax^2+bx+3)(x-5)$

Rozpisuejmy prawą stronę i porządkujemy wyrazy wielomianu.

$P=-x^4+5x^3+ax^3-5ax^2+bx^2-5bx+3x-15$

$=-x^4+x^3(5+a)+x^2(-5a+b)+x(-5b+3)-15$

Porównujemy współczynniki wielomianu z lewej strony równości ze współczynnikami przy odpowiednich potęgach

wielomianu po prawej stronie. Otrzymujemy:

$-1=-1\hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 5=5+a \hspace{10pt}\wedge \hspace{10pt} -1=-5a+b \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 8=-5b+3 \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} -15=-15$

Odczytujemy, że dla $a=0 \hspace{10pt}\wedge \hspace{10pt}b=-1$ wielomiany są równe.

c) $x^5+6x^4-4=(x^3-2)(ax^2+x)$

Rozpisuejmy prawą stronę i porządkujemy wyrazy wielomianu.

$P=ax^5+x^4-2ax^2-2x$

Porównujemy współczynniki wielomianu z lewej strony równości ze współczynnikami przy odpowiednich potęgach

wielomianu po prawej stronie. Otrzymujemy:

$1=a \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 6=1 \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt}0= -2a\hspace{10pt}\wedge \hspace{10pt} 0=-2 \hspace{10pt}\wedge -4=0$

Otrzymuejmy sprzeczność. Zatem, dla $a \in \emptyset$ wielomiany są równe.

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również:

Zadania domowe na eSzkola.pl Rozwiążemy Twoje zadanie! dodaj zadanie

Wiedza

Podobne