Zadania tekstowe związane z sumą ciągu geometrycznego

1. Dany jest ciąg geometryczny, taki że $a_1=3, \hspace{10pt} \text{i} \hspace{10pt} q=2$ . Ile początkowych wyrazów musimy zsumować, aby otrzymać $381$ ?

2. Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$ , jeśli $q=\sqrt[]{2}$ oraz $S_6=35+35\sqrt[]{2}$ .

3. Oblicz pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ , jeśli spełnia on następujące równości

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=93$ ,

$a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=372$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

28.04.2020 15:36

1. Zastosujemy wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ .

Podstawiamy znane wartości, tj. $S_n=381, \ a_1=3, \ q=2$ .

$381=3\cdot \frac{1-2^n}{1-2}$

Otrzymujemy równanie z niewiadomą $n$ . Przekształcamy je do najprostszej postaci

$\frac{381}{-3}=1-2^n$

$2^n=1+127$

$2^n=128$

$2^n=2^7$

Szukaną wartością jest $7$ .

Odp. Należy zsumować siedem początkowych wyrazów.

2. Podobnie, jak w powyższym zadaniu, korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Tym razem znanymi wartościami są $S_6=35+35\sqrt[]{2}, \hspace{10pt} n=6, \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} q=\sqrt[]{2}$ . Otrzymujemy następujące równanie z niewiadomą $a_1$ .

$35+35\sqrt[]{2}=a_1 \cdot \frac{1-\sqrt[]{2}^6}{1-\sqrt[]{2}}$

Przekształcamy równanie tak, by otrzymać wartość $a_1$ .

$(35+35\sqrt[]{2})\cdot \frac{1-\sqrt[]{2}}{1-\sqrt[]{2}^6}=a_1$

$\frac{35-35\sqrt[]{2}+35\sqrt[]{2}-70}{1-8}=a_1$

$\frac{-35}{-7}=a_1$

$a_1=5$

Odp. Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $5$ .

3. Tworzymy układ równań podstawiając do podanych równości wzory na sumę wyrazów początkowych. Pierwsza suma jest sumą pięciu wyrazów początkowych ciągu $(a_n)$ , natomiast drugą otrzymujemy odejmując od sumy siedmiu wyrazów początkowych sumę dwóch pierwszych wyrazów podanego ciągu. Zatem, zapisujemy

$\left\{ \begin{array}{ll} a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=93\\ a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=372\\ \end{array} \right.$