Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Zadania tekstowe związane z sumą ciągu geometrycznego

1. Dany jest ciąg geometryczny, taki że a_1=3, \hspace{10pt} \text{i} \hspace{10pt} q=2. Ile początkowych wyrazów musimy zsumować, aby otrzymać 381?

2. Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (a_n), jeśli q=\sqrt[]{2} oraz S_6=35+35\sqrt[]{2}.

3. Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) , jeśli spełnia on następujące równości

a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=93,

a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=372.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
28.04.2020 15:36

1. Zastosujemy wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}.

Podstawiamy znane wartości, tj. S_n=381, \ a_1=3, \ q=2.

381=3\cdot \frac{1-2^n}{1-2}

Otrzymujemy równanie z niewiadomą n. Przekształcamy je do najprostszej postaci

\frac{381}{-3}=1-2^n

2^n=1+127

2^n=128

2^n=2^7

Szukaną wartością jest 7.

Odp. Należy zsumować siedem początkowych wyrazów.


2. Podobnie, jak w powyższym zadaniu, korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Tym razem znanymi wartościami są S_6=35+35\sqrt[]{2}, \hspace{10pt} n=6, \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} q=\sqrt[]{2}. Otrzymujemy następujące równanie z niewiadomą a_1.

35+35\sqrt[]{2}=a_1 \cdot \frac{1-\sqrt[]{2}^6}{1-\sqrt[]{2}}

Przekształcamy równanie tak, by otrzymać wartość a_1.

(35+35\sqrt[]{2})\cdot \frac{1-\sqrt[]{2}}{1-\sqrt[]{2}^6}=a_1

\frac{35-35\sqrt[]{2}+35\sqrt[]{2}-70}{1-8}=a_1

\frac{-35}{-7}=a_1

a_1=5

Odp. Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest równy 5.


3. Tworzymy układ równań podstawiając do podanych równości wzory na sumę wyrazów początkowych. Pierwsza suma jest sumą pięciu wyrazów początkowych ciągu (a_n), natomiast drugą otrzymujemy odejmując od sumy siedmiu wyrazów początkowych sumę dwóch pierwszych wyrazów podanego ciągu. Zatem, zapisujemy

$$
\left\{ \begin{array}{ll}
a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=93\\
a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=372\\
\end{array} \right.
$$


$$
\left\{ \begin{array}{ll}
a_1\frac{1-q^5}{1-q}=93\\
  \\
a_1\frac{1-q^7}{1-q} - a_1\frac{1-q^2}{1-q}=372\\
\end{array} \right.
$$

Przekształcamy drugie równanie, a następnie wstawiamy wartość z pierwszego równania.

a_1\frac{1-q^7}{1-q} - a_1\frac{1-q^2}{1-q}=a_1(\frac{1-q^7-1-q^2}{1-q})=a_1\frac{q^2(1-q^5)}{1-q}

=q^2\cdot a_1\frac{1-q^5}{1-q} = q^2\cdot93

Otrzymujemy równanie, z którego wyliczamy iloraz ciągu

q^2\cdot 93 = 372

q^2=4

q=2 \hspace{5pt} \vee \hspace{5pt} q=-2

 

Podstawiamy wartości do pierwszego równania i otrzymujemy możliwe wartości a_1.

1o dla q=2 mamy

a_1\frac{1-q^5}{1-q}=93

a_1\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)}=93

a_1\frac{1+32}{1+2}=93

a_1\cdot 11=93

a_1=8\frac{5}{11}

2o dla q=-2 mamy 

a_1\frac{1-q^5}{1-q}=93

a_1\frac{1-2^5}{1-2}=93

a_1\frac{1-32}{-1}=93

a_1\cdot 31 = 93

a_1=3

Odp. Pierwszy wyraz może być równy 8\frac{5}{11}  albo 3.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)