Rozkładanie wielomianu na czynniki

Rozłóż wielomian na czynniki:

a) w(x)=4x^{4}-12x^{3}+12x^{2},

b) w(x) = \frac{1}{16}x^{6} + x^{5} + x^{4},

c) w(x)\ = \ (x^{4}+x^{3}-6x^{2})(x^{5}+2x^{4}+3x^{3}),

d) w(x)=216\ x^7-x^4,

e) w(x)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1,

f) w(x)=9x^6+4x^2.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
13.03.2020 09:11

a)w(x)=4x^{4}-12x^{3}+12x^{2}

Wyciągamy powtarzający się czynnik przed nawias.

w(x)=4x^2(x^2-3x+3)

Obliczmy wyróżnik sumy w nawiasie ze wzoru:

\Delta(v) = b^{2}- 4ac \hspace{20pt} \text{dla} \hspace{20pt} v(x) = ax^{2}+bx+c


Zatem, dla wielomianu v(x)=x^{2}-3x+3\Delta(v)=(-3)^{2}-4\cdot 1 \cdot 3 = 9-12 = -3.

Ponieważ \Delta\ <\ 0, to trójmianu v nie można przedstawić w postaci iloczynowej (nie ma pierwiastków rzeczywistych).

Ostatecznie

w(x)=4x^{2}(x^{2}-3x+3).


b)w(x) = \frac{1}{16}x^{6} + x^{5} + x^{4}

Wyciągamy x^{4} przed nawias.

w(x) = x^{4}\left(\frac{1}{16}x^{2} + x + 1\right)

Obliczamy wyróżnik dla v(x) = \frac{1}{16}x^{2} + x + 1.

\Delta(v)=1-\frac{4}{16}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

Ponieważ \Delta\ >\ 0 , możemy obliczyć pierwiastki v(x)=ax^2}+bx+c ze wzorów:

x_{1}=\frac{-b-\sqrt[]{\Delta}}{2a}, \hspace{20pt} x_{2}=\frac{-b+\sqrt[]{\Delta}}{2a}.

W omawianym przykładzie, otrzymujemy

x_{1}=\frac{-1-\sqrt[]{\frac{3}{4}}}{2\cdot \frac{1}{16}}\ =\ 8 \left(-1 - \frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)\ =\ -8 - 4\sqrt[]{3}

x_{2}=\frac{-1+\sqrt[]{\frac{3}{4}}}{2\cdot \frac{1}{16}}\ =\ 8 \left(-1 +\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)\ =\ -8 + 4\sqrt[]{3}

Zatem, wielomian v zapisujemy w postaci v(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}).

v(x)\ =\ \frac{1}{16}(x+8+4\sqrt[]{3})(x+8-4\sqrt[]{3}) .

Ostatecznie

w(x)=\ \frac{1}{16}\ x^{4}(x+8+4\sqrt[]{3})(x+8-4\sqrt[]{3}) .


c) w(x)\ = \ (x^{4}+x^{3}-6x^{2})(x^{5}+2x^{4}+3x^{3})

Z jednego i drugiego nawiasu wyciągamy powtarzające się czynniki

w(x)\ = x^{2}\ (x^{2}+x-6)x^3(x^{2}+2x+3)  = x^{5}\ (x^{2}+x-6)(x^{2}+2x+3)

 

Niech f(x)=x^2+x-6 \hspace{20pt} \text{oraz} \hspace{20pt} g(x)=x^2+2x+3.

Obliczamy wyróżniki dla każdego z trójmianów.

\Delta(f)=1+21=25, \hspace{20pt} \Delta(g)=4-12=-8

Wielomian g nie ma pierwiastków rzeczywistych, bo \Delta(g)\ <\ 0.

Dla wielomianu f obliczmy pierwiastki.

x_1=\frac{-1-5}{2}=-3

x_2=\frac{-1+5}{2}=2

Ostatecznie

w(x)=x^5(x+3)(x-2)(x^2+2x+3)


d) w(x)= 216\ x^7 - x^4

Wyciągamy powtarzający się czynnik przed nawias, następnie korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów.

w(x) = x^4\ (216\ x^3 -1)=x^4(6x-1)(36\ x^2+6x+1)

Wyróżnik wielomianu v(x) = 36\ x^2+6x+1 jest liczbą ujemną, zatem v nie ma pierwiastków rzeczywistych. Powyższa postać wielomianu w jest szukanym rozkładem.


e) w(x)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1

Dzielimy wielomian na trzy części.

w(x)=(x^5+x^4)-(2x^3+2x^2)+(x+1)

Z każdej części wyciągamy wspólny czynnik przed nawias.

w(x)=x^4(x+1)-2x^2(x+1)+(x+1)

Powtarzającą się sumę wyciągamy przed nawias.

w(x)=(x+1)(x^4-2x^2+1)

Szukamy pierwiastków wielomianu v(x)=x^4-2x^2+1. Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy i zapisujemy 

v(x)=(x^2-1)^2.

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów rozkładając x^2-1.

v(x)=\left((x-1)(x+1)\right)^2

Ostatecznie w(x)=(x+1)(x-1)^2(x+1)^2=(x+1)^3(x-1)^2.



f) w(x)=9x^6+4x^2

Wyciągamy x^2 przed nawias i sumę w nawiasie przekształcamy tak, by móc skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy.

w(x)=x^2(9x^4+4)=x^2\left( (9x^4+12x^2+4)-12x^2\right)

=x^2\left( (3x^2+2)^2 - (2\sqrt[]{3}x)^2\right)

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

w(x)=x^2(3x^2+2-2\sqrt[]{3}x)(3x^2+2+2\sqrt[]{3}x)

Obliczamy wyróżniki wielomianów s(x)=3x^2+2-2\sqrt[]{3}x, \hspace{20pt} t(x)=3x^2+2+2\sqrt[]{3}x.

\Delta(s)=4+24\sqrt[]{3}=4(1+6\sqrt[]{3}), \hspace{20pt} \Delta(t)=4-24\sqrt[]{3}\ <\ 0

Trójmian t nie ma pierwiatków rzeczywistych. Pierwiastki wielomianu s obliczmy z odpowiednich wzorów


x_1=\frac{-2-2\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{6} =\  -\frac{1}{3}\ -\ \frac{\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3}

x_2=\frac{-2+2\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{6} =\  -\frac{1}{3}\ +\ \frac{\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3}

Ostatecznie, zapisuejmy wielomian w w następującej postaci

w(x)=x^2(x+\frac{1+\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3})(x+\frac{1-\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3})(3x^2+2+2\sqrt[]{3}x).




Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 5 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: