Rozkładanie wielomianu na czynniki

Rozłóż wielomian na czynniki:

a) $w(x)=4x^{4}-12x^{3}+12x^{2}$ ,

b) $w(x) = \frac{1}{16}x^{6} + x^{5} + x^{4}$ ,

c) $w(x)\ = \ (x^{4}+x^{3}-6x^{2})(x^{5}+2x^{4}+3x^{3})$ ,

d) $w(x)=216\ x^7-x^4$ ,

e) $w(x)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1$ ,

f) $w(x)=9x^6+4x^2$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

13.03.2020 09:11

a) $w(x)=4x^{4}-12x^{3}+12x^{2}$

Wyciągamy powtarzający się czynnik przed nawias.

$w(x)=4x^2(x^2-3x+3)$

Obliczmy wyróżnik sumy w nawiasie ze wzoru:

$\Delta(v) = b^{2}- 4ac \hspace{20pt} \text{dla} \hspace{20pt} v(x) = ax^{2}+bx+c$

Zatem, dla wielomianu $v(x)=x^{2}-3x+3$ , $\Delta(v)=(-3)^{2}-4\cdot 1 \cdot 3 = 9-12 = -3$ .

Ponieważ $\Delta\ <\ 0$ , to trójmianu $v$ nie można przedstawić w postaci iloczynowej (nie ma pierwiastków rzeczywistych).

Ostatecznie

$w(x)=4x^{2}(x^{2}-3x+3)$ .

b) $w(x) = \frac{1}{16}x^{6} + x^{5} + x^{4}$

Wyciągamy $x^{4}$ przed nawias.

$w(x) = x^{4}\left(\frac{1}{16}x^{2} + x + 1\right)$

Obliczamy wyróżnik dla $v(x) = \frac{1}{16}x^{2} + x + 1$ .

$\Delta(v)=1-\frac{4}{16}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Ponieważ $\Delta\ >\ 0$ , możemy obliczyć pierwiastki $v(x)=ax^2}+bx+c$ ze wzorów:

$x_{1}=\frac{-b-\sqrt[]{\Delta}}{2a}, \hspace{20pt} x_{2}=\frac{-b+\sqrt[]{\Delta}}{2a}$ .

W omawianym przykładzie, otrzymujemy

$x_{1}=\frac{-1-\sqrt[]{\frac{3}{4}}}{2\cdot \frac{1}{16}}\ =\ 8 \left(-1 - \frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)\ =\ -8 - 4\sqrt[]{3}$

$x_{2}=\frac{-1+\sqrt[]{\frac{3}{4}}}{2\cdot \frac{1}{16}}\ =\ 8 \left(-1 +\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)\ =\ -8 + 4\sqrt[]{3}$

Zatem, wielomian $v$ zapisujemy w postaci $v(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ .

$v(x)\ =\ \frac{1}{16}(x+8+4\sqrt[]{3})(x+8-4\sqrt[]{3})$ .

Ostatecznie

$w(x)=\ \frac{1}{16}\ x^{4}(x+8+4\sqrt[]{3})(x+8-4\sqrt[]{3})$ .

c) $w(x)\ = \ (x^{4}+x^{3}-6x^{2})(x^{5}+2x^{4}+3x^{3})$

Z jednego i drugiego nawiasu wyciągamy powtarzające się czynniki

$w(x)\ = x^{2}\ (x^{2}+x-6)x^3(x^{2}+2x+3) = x^{5}\ (x^{2}+x-6)(x^{2}+2x+3)$

Niech $f(x)=x^2+x-6 \hspace{20pt} \text{oraz} \hspace{20pt} g(x)=x^2+2x+3$ .

Obliczamy wyróżniki dla każdego z trójmianów.

$\Delta(f)=1+21=25, \hspace{20pt} \Delta(g)=4-12=-8$

Wielomian $g$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, bo $\Delta(g)\ <\ 0$ .

Dla wielomianu $f$ obliczmy pierwiastki.

$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3$

$x_2=\frac{-1+5}{2}=2$

Ostatecznie

$w(x)=x^5(x+3)(x-2)(x^2+2x+3)$

d) $w(x)= 216\ x^7 - x^4$

Wyciągamy powtarzający się czynnik przed nawias, następnie korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów.

$w(x) = x^4\ (216\ x^3 -1)=x^4(6x-1)(36\ x^2+6x+1)$

Wyróżnik wielomianu $v(x) = 36\ x^2+6x+1$ jest liczbą ujemną, zatem $v$ nie ma pierwiastków rzeczywistych. Powyższa postać wielomianu $w$ jest szukanym rozkładem.

e) $w(x)=x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1$

Dzielimy wielomian na trzy części.

$w(x)=(x^5+x^4)-(2x^3+2x^2)+(x+1)$

Z każdej części wyciągamy wspólny czynnik przed nawias.

$w(x)=x^4(x+1)-2x^2(x+1)+(x+1)$

Powtarzającą się sumę wyciągamy przed nawias.

$w(x)=(x+1)(x^4-2x^2+1)$

Szukamy pierwiastków wielomianu $v(x)=x^4-2x^2+1$ . Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy i zapisujemy

$v(x)=(x^2-1)^2$ .

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów rozkładając $x^2-1$ .

$v(x)=\left((x-1)(x+1)\right)^2$

Ostatecznie $w(x)=(x+1)(x-1)^2(x+1)^2=(x+1)^3(x-1)^2$ .

f) $w(x)=9x^6+4x^2$

Wyciągamy $x^2$ przed nawias i sumę w nawiasie przekształcamy tak, by móc skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy.

$w(x)=x^2(9x^4+4)=x^2\left( (9x^4+12x^2+4)-12x^2\right)$

$=x^2\left( (3x^2+2)^2 - (2\sqrt[]{3}x)^2\right)$

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

$w(x)=x^2(3x^2+2-2\sqrt[]{3}x)(3x^2+2+2\sqrt[]{3}x)$

Obliczamy wyróżniki wielomianów $s(x)=3x^2+2-2\sqrt[]{3}x, \hspace{20pt} t(x)=3x^2+2+2\sqrt[]{3}x$ .

$\Delta(s)=4+24\sqrt[]{3}=4(1+6\sqrt[]{3}), \hspace{20pt} \Delta(t)=4-24\sqrt[]{3}\ <\ 0$

Trójmian $t$ nie ma pierwiatków rzeczywistych. Pierwiastki wielomianu $s$ obliczmy z odpowiednich wzorów

$x_1=\frac{-2-2\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{6} =\ -\frac{1}{3}\ -\ \frac{\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3}$

$x_2=\frac{-2+2\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{6} =\ -\frac{1}{3}\ +\ \frac{\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3}$

Ostatecznie, zapisuejmy wielomian $w$ w następującej postaci

$w(x)=x^2(x+\frac{1+\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3})(x+\frac{1-\sqrt[]{6\sqrt[]{3}+1}}{3})(3x^2+2+2\sqrt[]{3}x)$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozkładanie wielomianu na czynniki

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: