Określanie wyrazów ciągu na podstawie wzoru ogólnego

Które wyrazy ciągu $(a_n)$ są równe zeru?

a) $a_n=n^3-4n^2+4n$ ;

b) $a_n=n^2(n-2)(n-1)$ ;

c) $a_n=\frac{(n^3-64)(64-n^2)}{3n-1}$ .

Liceum Matematyka

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

14.04.2020 11:19

a) $a_n=n^3-4n^2+4n$

Przyrównujmy wzór ogólny ciągu do zera i wyznaczamy $n$ , dla których zachodzi równość .

$n^3-4n^2+4n=0$

Wyciągamy powtarzający się czynnik przed nawias i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

$n(n^2-4n+4)=0$

$n(n-2)^2=0$

Równość jest spełniona dla $n=0 \hspace{10pt} \text{lub} \hspace{10pt} n=2$ .

Odp. Wyrazy $a_0$ oraz $a_2$ ciągu $(a_n)$ są równe zeru.

b) $a_n=n^2(n-2)(n-1)$

Przyrównujemy wzór na n-ty wyraz ciągu do zera. Szukamy $n$ , dla których zachodzi równość.

$n^2(n-2)(n-1)=0$

Równanie jest spełnione, jeśli $n=0 \hspace{10pt} \vee \hspace{10pt} n=2 \hspace{10pt}\vee \hspace{10pt} n=1$ .

Odp. Wyrazy $a_0, \ a_1, \ a_2$ są równe zero.

c) $a_n=\frac{(n^3-64)(64-n^2)}{3n-1}$

Przyrównujmy wzór ogólny ciągu do zera i wyznaczamy $n$ , dla których zachodzi równość.

$\frac{(n^3-64)(64-n^2)}{3n-1} = 0$

Stosujemy wzory skróconego mnożenia na różnicę sześcianów oraz różnicę kwadratów, aby rozpisać wyrażenie w liczniku.

$\frac{(n-4)(n^2+4n+16)(8-n)(8+n)}{3n-1}=0$

Ten ułamek jest równy 0, jeśli licznik jest równy 0 a mianownik jest różny od zera.

$(n-4)(n^2+4n+16)(8-n)(8+n)=0 \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} 3n-1\neq 0$

Zatem równanie jest spełnione dla $n\in\{-8, 4, 8\}$ . Pamiętajmy, że n musi być liczbą naturalną. Otrzymuejmy rozwiązanie.

Odp. Wyrazy czwarty i ósmy ciągu $(a_n)$ są równe zeru.

Dzięki! 1

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: